Derivació de l’equació de la trajectòria d’un projectil

Suposeu que es llança des d’una altura $y_0$ un objecte amb una velocitat $v_0$ i un angle $\alpha$ respecte l’horitzontal. Es demana trobar l’equació de la trajectòria, és a dir, la relació entre $y$ i $x$ en funció de $v_0$ i $\alpha$.

Dades inicials:

• Velocitat inicial: $v_0$.
• Angle de llançament: $\alpha$.
• Altura inicial: $y_0$.
• Acceleració gravitacional: $g$.
• Components de la velocitat inicial:
  $$v_{0x} = v_0 \cos \alpha, \quad v_{0y} = v_0 \sin \alpha.$$

Derivació de l’equació de la trajectòria

L’equació de la trajectòria relaciona la posició vertical $y$ amb la posició horitzontal $x$, eliminant el temps $t$.

1. Posició horitzontal:
   L’equació del moviment horitzontal (sense acceleració) és:
   $$x = v_{0x} t = (v_0 \cos \alpha) t.$$
   Aïllem $t$:
   $$t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}.$$
2. Posició vertical:
   L’equació del moviment vertical, tenint en compte l’altura inicial $y_0$ i l’acceleració gravitacional, és:
   $$y = y_0 + v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2.$$
   Substituïm $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$:
   $$y = y_0 + (v_0 \sin \alpha) t – \frac{1}{2} g t^2.$$
3. Substitució de $t$:
   Substituïm $t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}$ en l’equació vertical:
   $$y = y_0 + (v_0 \sin \alpha) \cdot \frac{x}{v_0 \cos \alpha} – \frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v_0 \cos \alpha} \right)^2.$$
   Simplifiquem:
   $$y = y_0 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} x – \frac{1}{2} g \cdot \frac{x^2}{v_0^2 \cos^2 \alpha}.$$
   Usant $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$:
   $$y = y_0 + x \tan \alpha – \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}.$$

Equació de la trajectòria:
$$y = y_0 + x \tan \alpha – \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}.$$

Resposta final:
L’equació de la trajectòria és:
$$y = y_0 + x \tan \alpha – \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}.$$