Depèndencia lineal de vectors

Considera els vectors de $\mathbb{R}^3$: $\vec{u} = (1,0,-1)$, $\vec{v} = (a,-1,0)$ i $\vec{w} = (0,a,-1)$. a) Per a quins valors de $a$ són linealment dependents?. b) Determina en eixe cas, $x$ i $y$ de forma que siga $\vec{0} = x \cdot \vec{u} + y \cdot \vec{v}$.

a) Calculem el determinant format per les components dels tres vectors:
\[\begin{vmatrix}
1 & 0 & -1 \\
a & -1 & 0 \\
0 & a & -1
\end{vmatrix} = 1 – a^2.\]
És compleix que $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0 \Leftrightarrow a = \pm 1$. Per tant per aquests dos valors de $a$ els vectors són linealment dependents.

b) Si $a = 1$ plantegem la combinació lineal $(0,1,-1) = x \cdot (1,0,-1) + y \cdot (1,-1,0)$. Operant i igualant components arribem al sistema lineal:
\[\begin{cases}
x + y & = 0 \\
-y & = 1 \\
-x & = -1
\end{cases}\]
La seua solució és trivial: $x = 1$, $y = -1$.

Si $a = -1$ plantegem la combinació lineal $(0,-1,-1) = x \cdot (1,0,-1) + y \cdot (-1,-1,0)$. Operant i igualant components arribem al sistema lineal:
\[\begin{cases}
x – y & = 0 \\
-y & = -1 \\
-x & = -1
\end{cases}\]
La seua solució és trivial: $x = 1$, $y = 1$.