Datació amb carboni-14

a) Quin tipus d’objectes es daten amb el carboni-14? b) Una mostra d’una eina antiga de fusta presenta una activitat de $13600$ desintegracions per dia. La mateixa massa d’una mostra actual presenta una activitat de $920$ desintegracions per hora. Estima l’antiguitat de l’eina. (Dada: $T_{1/2} (\text{C-14}) = 5730 \, \text{anys}$)

$\textbf{a)}$ El carboni-$14$ s’utilitza per datar objectes orgànics com fusta, ossos, carbó, teixits animals o vegetals, i altres materials biològics que contenen carboni i que tenen menys de $50.000-60.000$ anys, ja que aquest mètode és efectiu dins d’aquest rang de temps.

$\textbf{b)}$ Per estimar l’antiguitat, utilitzem la llei de decaïment radioactiu:

$$A = A_0 e^{-\lambda t},$$

on:

• $A_0$ és l’activitat inicial (mostra actual),
• $A$ és l’activitat de la mostra antiga,
• $\lambda$ és la constant de decaïment,
• $t$ és el temps (antiguitat).

La constant de decaïment es calcula a partir de la meitat de vida ($T_{1/2}$):

$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0,693}{5730} \approx 1,21 \times 10^{-4} \, \text{anys}^{-1}.$$

Convertim l’activitat actual de desintegracions per hora a desintegracions per dia:

$$A_0 = 920 \, \text{desintegracions/hora} \times 24 \, \text{hores/dia} = 22080 \, \text{desintegracions/dia}.$$

Ara, calculem el temps $t$ amb l’equació:

$$\frac{A}{A_0} = e^{-\lambda t},$$

$$\ln\left(\frac{A}{A_0}\right) = -\lambda t,$$

$$t = -\frac{\ln\left(\frac{A}{A_0}\right)}{\lambda}.$$

Substituïm els valors:

$$\frac{A}{A_0} = \frac{13600}{22080} \approx 0,616,$$

$$\ln(0,616) \approx -0,485,$$

$$t = -\frac{-0,485}{1,21 \times 10^{-4}} \approx 4008 \, \text{anys}.$$

$\textbf{Respostes:}$
a) Objectes orgànics com fusta, ossos, carbó, teixits animals o vegetals.
b) L’antiguitat estimada de l’eina és d’aproximadament $4008$ anys.