Convergència i Estimació d’Error d’una Sèrie mitjançant el Criteri Integral

Mostrar que la sèrie\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n^2 + 1)^2}\]convergeix i estimar l’error comès a l’aproximar la seva suma \( S \) mitjançant la suma parcial \( S_5 \).

En aquest cas,\[f(x) = \frac{x}{(x^2 + 1)^2},\]\[\int_{1}^{+\infty} \frac{x \, dx}{(x^2 + 1)^2} = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{x \, dx}{(x^2 + 1)^2} = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{2(x^2 + 1)} \right)_{1}^{b} =\]\[= \lim_{b \to +\infty} \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{2(b^2 + 1)} \right) = \frac{1}{4}.\]En virtut del criteri integral, la sèrie convergeix. Denotem amb \( S \) la seva suma i estimem l’error de l’aproximació:\[S \approx S_5 = \frac{1}{4} + \frac{2}{25} + \frac{3}{100} + \frac{4}{289} + \frac{5}{676} =\]\[= 0,25 + 0,08 + 0,03 + 0,013841 + 0,007396 \approx 0,381237.\]Per a l’error \( R_5 \), tenim\[R_5 \leq \int_{5}^{+\infty} \frac{x \, dx}{(x^2 + 1)^2} = \left( -\frac{1}{2(x^2 + 1)} \right)_{5}^{+\infty} = \frac{1}{52} \approx 0,019231.\]**Nota.** La notació\[\left( -\frac{1}{2(x^2 + 1)} \right)_{5}^{+\infty}\]s’ha d’interpretar com\[\left( -\frac{1}{2(x^2 + 1)} \right)_{5}^{+\infty} = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{2(x^2 + 1)} \right)_{5}^{b} =\]\[= \frac{1}{52} – \frac{1}{2} \lim_{b \to +\infty} \frac{1}{x^2 + 1} = \frac{1}{52}.\]