Convergència de la integral impròpia

(El criteri de Dirichlet) Seguint \(f, g: [a, +\infty) \to \mathbb{R}\). Es suposa que:i) \(f\) és contínua, i hi ha una constant \(M > 0\) tal que, per a tota \(b > a\),\[\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq M.\]ii) \(g\) és derivable, i decreixent amb \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\).Proveu que, en aquestes condicions, la integral impròpia \(\int_a^{+\infty} f(x)g(x) \, dx\) és convergent. (Integreu per parts.)

Assumim que, en la hipòtesi (ii), derivabilitat significa que \(g \in C^1([a, +\infty))\); és a dir, que \(g\) és derivable con derivada contínua.Com que \(f\) és contínua, el Teorema Fonamental del Càlcul determina que la funció \(F(x) = \int_a^x f(s) \, ds\) és derivable en \([a, +\infty)\) i a més \(F'(x) = f(x)\). Límits (i) impliquen també que \(F\) està acotada en \([a, +\infty)\), de fet \(|F(x)| \leq M\), per a tot \(x \in [a, +\infty)\).Hem assumit que \(g’\) és contínua (i per tant \(F g’\) també ho és), mentre que la hipòtesi de decreixement implica que \(g'(x) \leq 0\), per a cada \(x \in [0, +\infty)\). A més, aplicant la regla de Barrow, tenim que \(\int_a^{+\infty} g'(x) \, dx = g(b) – g(a)\) i per tant \(\lim_{b \to +\infty} \int_a^b g'(x) \, dx = -g(a)\), de manera que \(\int_a^{+\infty} g'(x) \, dx\) és convergent.Utilitzant la tècnica d’integració per parts, obtenim que\[\int_a^b f(x)g(x) \, dx = \left[ u = g(x) \quad \Rightarrow \quad du = g'(x) \, dx \right]\]\[\left[ dv = f(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = F(x) \right]\]\[= F(b)g(b) – F(a)g(a) – \int_a^b F(x)g'(x) \, dx.\]Com que \(F\) està acotada i \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\), resulta que \(\lim_{b \to +\infty} F(b)g(b) = 0\), el que implica que les integrals \(\int_a^{+\infty} f(x)g(x) \, dx\) i \(\int_a^{+\infty} F(x)g'(x) \, dx\) tenen el mateix caràcter. Per altra part,\[|F(x)g'(x)| \leq M|g'(x)| = -Mg'(x),\]el que implica que \(\int_a^b F(x)g'(x) \, dx\) és absolutament convergent, el que en definitiva conclou el resultat enunciat.

NOTA 1: Observar que la demostració del criteri de Dirichlet utilitza mètodes més enllà dels desenvolupats per demostrar la convergència de la integral \(\int_1^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx\) en el problema anterior. Així mateix, en la versió contínua del mateix criteri per a sèries numèriques, con la diferència de que en el cas de sèries es conclou la convergència absoluta i en el cas de integrals només la convergència (com mostra l’exemple del problema anterior).

Nota 2: El mateix resultat se satisfà si \(g\) és creixent i \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\): Baixo aquesta hipòtesi si considerem \(\tilde{g} = -g\), llavors \(\tilde{g}\) és decreixent i \(\lim_{x \to +\infty} \tilde{g}(x) = 0\). Per tant la integral impròpia \(\int_a^b f(x)g(x) \, dx = -\int_a^b f(x)\tilde{g}(x) \, dx\) és convergent, el que finalment implica que \(\int_a^{+\infty} f(x)g(x) \, dx\) és convergent. Per tant, podem reformular les hipòtesis del apartat (b) de la següent manera: \(g\) és derivable, i monòtona amb \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\).De fet, el resultat del principi de Dirichlet és cert fins i tot suposant la hipòtesi de derivabilitat sobre \(g\) més feble (de manera que la monotonia i el comportament en el límit). Tanmateix la demostració, que no podem utilitzar la tècnica d’integració per parts, és substancialment més complicada que la presentada aquí.