Continuïtat i derivabilitat d’una funció a trossos

Digues si la funció a trossos

$$f(x)=\begin{cases} 2x^2-3x-1 \mbox{ si } x \le -1 \\
4x+1 \mbox{ si } -1 < x < 2 \\
9 \mbox{ si } x \ge 2
\end{cases}$$
és:

Derivable en $x=-1$, $x=0$ i $x=2$

És contínua en aquests punts

Anem a veure si és derivable en aquests punts. Calcularem la derivada a partir del límit i en els casos que la funció estigui definida de manera diferent per la dreta i per l’esquerra dels punts calcularem els límits laterals.

$$f^{\prime}(-1)= \lim\limits_{x\to -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} \begin{cases} \lim\limits_{x\to -1^+} \frac{4x+1-4}{x+1}= \lim\limits_{x\to -1^+} \frac{4x-3}{x+1}=-\infty\\
\lim\limits_{x\to -1^-} \frac{(2x^2-3x-1)-(2(-1)^2-3(-1)-1)}{x+1}= \lim\limits_{x\to -1^-} \frac{2x^2-3x-5}{x+1}=\lim\limits_{x\to -1^-} \frac{(2x-5)(x+1)}{x+1}=-7
\end{cases}$$
$f(x)$ no és derivable en $x=-1$.

$$f^{\prime}(0)= \lim\limits_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim\limits_{x\to 0} \frac{4x+1-1}{x}=4$$
$f(x)$ és derivable en $x=0$ i $f^{\prime}(0)=4$.

$$f^{\prime}(2)= \lim\limits_{x\to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} \begin{cases} \lim\limits_{x\to 2^+} \frac{9-9}{x-2}=0\
\lim\limits_{x\to 2^-} \frac{4x+1-9}{x-2}= \lim\limits_{x\to 2^-} \frac{4(x-2)}{x-2}=4
\end{cases}$$
$f(x)$ no és derivable en $x=2$ ja que els límits laterals no coincideixen.

En els casos que la funció és derivable la funció serà contínua en aquests punts. Per tant, en $x=0$ la funció és contínua i derivable. Però pot ser que no sigui derivable i en canvi, sí que sigui contínua. Anem a veure què passa en $x=-1$ i $x=2$:

$$\lim\limits_{x\to -1} f(x)=\begin{cases} \lim\limits_{x\to -1^+} (4x+1)= -3\
\lim\limits_{x\to -1^-} (2x^2-3x-1)= 4
\end{cases}$$
Com que els límits laterals no coincideixen $f(x)$ no és derivable ni contínua en $x=-1$.

$$\lim\limits_{x\to 2} f(x)=\begin{cases} \lim\limits_{x\to 2^+} 9= 9\\
\lim\limits_{x\to 2^-} (4x+1)= 9
\end{cases}$$
Com que els límits laterals sí que coincideixen $f(x)$ no és derivable però sí contínua en $x=-1$.

Si mireu la representació gràfica de la funció i què passa en aquests punts en concret, entendreu més coses.