Continuïtat d’una funció

Una funció \( f(x) \) és contínua a \( x = a \) si:

1. \( f(a) \) existeix (la funció està definida).

2. \( \lim_{x \to a} f(x) \) existeix (els límits laterals coincideixen: \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) \)).

3. \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).

Contínuïtat en un interval:

• En \( (a, b) \): contínua en cada punt.

• En \( [a, b] \): contínua en \( (a, b) \) i amb límits laterals a \( x = a^+ \) i \( x = b^- \) iguals a \( f(a) \) i \( f(b) \).

Tipus de discontinuïtats

Una funció té una discontinuïtat a \( x = a \) si alguna condició de continuïtat falla. Els tipus són:

1. Evitable (removible):

• \( \lim_{x \to a} f(x) \) existeix, però \( f(a) \) no està definit o \( \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) \).

• Exemple: \( f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1} \) a \( x = 1 \). Límit = 2, però \( f(1) \) no definit.

2. De salt:

• \( \lim_{x \to a^-} f(x) \) i \( \lim_{x \to a^+} f(x) \) existeixen, però són diferents.

• Exemple: \( f(x) = \begin{cases} 1 & x < 0 \\ 2 & x \geq 0 \end{cases} \) a \( x = 0 \). Límits: 1 (esquerra), 2 (dreta).

3. Asimptòtica (o de salt i infinit):

• Almenys un límit lateral és \( \pm \infty \) o no existeix.

• Exemple: \( f(x) = \frac{1}{x} \) a \( x = 0 \). Límits: \( -\infty \) (esquerra), \( +\infty \) (dreta).

4. Oscil·lant:

• La funció oscil·la prop de \( x = a \), i \( \lim_{x \to a} f(x) \) no existeix.

• Exemple: \( f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) a \( x = 0 \). Oscil·la entre -1 i 1.