Condicions per al rodament d’una esfera en un pla inclinat

Una esfera roda per un pla inclinat que forma un angle α\alpha amb l’horitzontal.

a) Quines condicions s’han de complir perquè només rodi o només rellisqui?
b) Quin ha de ser l’angle $\alpha$ perquè el rodament tingui lloc? El coeficient de fricció entre l’esfera i el pla és $\mu = 0.2$.

---

a) Condicions per a que només rodi o només rellisqui

• Rodament sense deslliscament (només rodi):

Perquè l’esfera només rodi, el punt de contacte amb el pla ha de tenir velocitat zero respecte al pla. Això implica que la velocitat del centre de massa $v$ i la velocitat angular $\omega$ han de complir la relació següent: $v = \omega R$

On:

• $R$ és el radi de l’esfera.
• $v$ és la velocitat del centre de massa.
• $\omega$ és la velocitat angular.

Per tal que aquesta condició es compleixi, la fricció entre el pla i l’esfera ha de ser suficient per evitar el deslliscament. Si la fricció no és prou gran, l’esfera relliscarà sense rodar.

• Deslliscament (només relliscar):

Si l’esfera rellisca, no es compleix la relació $v = \omega R$, per tant, no hi ha rodament. En aquest cas, la fricció encara actua, però no és prou forta per garantir que l’esfera rodès.

---

b) Càlcul de l’angle $\alpha$ per al rodament sense deslliscament

Perquè l’esfera rodi sense deslliscar, la seva acceleració lineal aa i l’acceleració angular α\alpha han d’estar relacionades de la següent manera: $a = R \alpha$

Frenada de la força i moment de força:

• Forces que actuen sobre l’esfera:
  • La component del pes en direcció al pla inclinat és $mg \sin \alpha$.
  • La força de fricció $f$ actua en sentit oposat al moviment de la esfera.
• Equació per a la traslació (en la direcció del pla inclinat): $m a = mg \sin \alpha – f$ De manera que: $$a = g \sin \alpha – \frac{f}{m}$$
• Equació per a la rotació: El torque 4\tau$ generat per la força de fricció és $\tau = f R$, i utilitzem la segona llei de Newton per a la rotació: $I \alpha = f R$ On $I$ és el moment d’inèrcia de l’esfera, que és $I = \frac{2}{5} m R^2$. Relacionem l’acceleració angular α\alpha amb l’acceleració lineal aa per la relació $a = R \alpha$. Per tant, substituïm en la llei de rotació: $\frac{2}{5} m R^2 \cdot \frac{a}{R} = f R$ Simplificant: $\frac{2}{5} m a = f$

Sustitució de la força de fricció:

Substituïm $f = \frac{2}{5} m a$ en l’equació de la traslació: $$m a = mg \sin \alpha – \frac{2}{5} m a$$

Resolent per $a$:$$a \left( 1 + \frac{2}{5} \right) = g \sin \alpha$$ $$a \cdot \frac{7}{5} = g \sin \alpha$$

Per tant, l’acceleració aa serà: $$a = \frac{5}{7} g \sin \alpha$$

Condició per al rodament sense deslliscament:

La fricció ha de ser suficient per evitar el deslliscament, així que igualem la fricció necessària per a mantenir el rodament amb la fricció màxima $f_{\text{max}} = \mu mg \cos \alpha$: $$f = \frac{2}{5} m a = \mu mg \cos \alpha$$

Substituïm $a = \frac{5}{7} g \sin \alpha$: $$\frac{2}{5} m \cdot \frac{5}{7} g \sin \alpha = \mu mg \cos \alpha$$

Simplificant: $$\frac{2}{7} m g \sin \alpha = \mu m g \cos \alpha$$

Dividim per $m g$: $$\frac{2}{7} \sin \alpha = \mu \cos \alpha$$

Substituïm $\mu = 0.2$: $$\frac{2}{7} \sin \alpha = 0.2 \cos \alpha$$

Resolvem per $\tan \alpha$: $$\tan \alpha = \frac{0.2 \times 7}{2} = \frac{1.4}{2} = 0.7$$

Per tant, l’angle $\alpha$ és:$$\alpha = \tan^{-1}(0.7)$$

Calculant el valor del angle: $$\alpha \approx 35^\circ$$

---

Resultat final:

• Condicions per a que només ruixi o només rellisqui:
  • Només ruixar (sense deslliscament): $v = \omega R$, i la fricció ha de ser suficient per evitar el deslliscament.
  • Només relliscar (sense rodament): $v \neq \omega R$, i la fricció no és prou forta per mantenir el rodament.
• Àngle α\alpha per al rodament sense deslliscament: $$\boxed{\alpha \approx 35^\circ}$$