Circuit RLC – Impedància equivalent

Un circuit conté una resistència de $20\ \Omega$, un condensador de $20\ \mu\text{F}$ i una bobina de $0,02\ \text{H}$. Aquests tres elements es connecten a una font de tensió alterna de freqüència $50\ \text{Hz}$. Calcula la impedància equivalent del circuit: a) Quan els tres elements estan connectats en sèrie. b) Quan els tres elements estan connectats en paral·lel.

Dades del problema

$$\begin{aligned}
R &= 20\,\Omega \\
C &= 20\,\mu\text{F} = 20 \times 10^{-6}\,\text{F} \\
L &= 0{,}02\,\text{H} \\
f &= 50\,\text{Hz} \\
\omega &= 2\pi f = 100\pi \approx 314{,}16\,\text{rad/s}
\end{aligned}$$

Reactàncies

$$\begin{aligned}
X_L &= \omega L = 314{,}16 \times 0{,}02 \approx 6{,}283\,\Omega \\ X_C &= \frac{1}{\omega C} = \frac{10^{6}}{314{,}16 \times 20} \approx 159{,}15\,\Omega \\ X &= X_L – X_C \approx -152{,}87\,\Omega
\end{aligned}$$

a) Connexió en sèrie

$$\begin{aligned}
Z_{\text{sèrie}} &= R + j(X_L – X_C) \\
&= 20 + j(-152{,}87) \\
&= \mathbf{20 – j\,152{,}9}\,\Omega
\end{aligned}$$

Mòdul:
$$|Z_{\text{sèrie}}| = \sqrt{20^2 + 152{,}87^2} \approx 154{,}2\,\Omega$$

Resposta a)
$$\boxed{Z_{\text{sèrie}} = 20 – j\,153\,\Omega \quad \Rightarrow \quad |Z_{\text{sèrie}}| \approx 154\,\Omega}$$

b) Connexió en paral·lel

Admitàncies:
$$\begin{aligned}
Y_R &= \frac{1}{R} = 0{,}05\,\text{S} \\
Y_L &= \frac{1}{jX_L} = -j\,0{,}1592\,\text{S} \\
Y_C &= \frac{1}{-jX_C} = j\,0{,}00628\,\text{S}
\end{aligned}$$

Admitància total:
$$Y_{\text{total}} = 0{,}05 – j\,0{,}1529\,\text{S}$$

Impedància equivalent:
$$Z_{\text{paral·lel}} = \frac{1}{Y_{\text{total}}}
= \frac{1}{0{,}05 – j\,0{,}1529}
= \frac{0{,}05 + j\,0{,}1529}{0{,}05^2 + 0{,}1529^2}
= \frac{0{,}05 + j\,0{,}1529}{0{,}02588}
\approx \mathbf{1{,}93 + j\,5{,}91}\,\Omega$$

Mòdul:
$$|Z_{\text{paral·lel}}| \approx 6{,}22\,\Omega$$

Resposta b)
$$\boxed{Z_{\text{paral·lel}} \approx 1{,}93 + j\,5{,}91\,\Omega \quad \Rightarrow \quad |Z_{\text{paral·lel}}| \approx 6{,}22\,\Omega}$$

Resum final

• a) En sèrie: $\boxed{20 – j\,153\,\Omega \quad (|Z| \approx 154\,\Omega)}$
• b) En paral·lel: $\boxed{1{,}93 + j\,5{,}91\,\Omega \quad (|Z| \approx 6{,}22\,\Omega)}$