Circuit R-L en sèrie amb corrent altern

En un circuit elèctric hi ha dos elements connectats en sèrie: una resistència \( R = 10 \, \Omega \) i una bobina d’inductància \( L = 11.5 \, \text{mH} \). El circuit s’alimenta amb una tensió alterna de la forma:\[ v(t) = 311.12 \sin(314 t) \, \text{V} \]Determina: 1. La freqüència del circuit. 2. El valor de la impedància del circuit i el triangle d’impedàncies. 3. El valor eficaç del corrent. 4. L’expressió instantània del corrent i el desfasament respecte de la tensió. 5. Els valors eficaços de tensió als extrems de la resistència i de la bobina, i el triangle de tensions. 6. El factor de potència. 7. Les potències activa, reactiva i aparent, i el triangle de potències.

Dades inicials

• Tensió de pic: \( V_m = 311.12 \, \text{V} \)

• Tensió eficaç: \( V = \frac{311.12}{\sqrt{2}} = 220 \, \text{V} \)

• Pulsació: \( \omega = 314 \, \text{rad/s} \)

1. Freqüència del circuit\[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{314}{2\pi} = 50 \, \text{Hz} \]

2. Impedància del circuit. Reactància inductiva:\[ X_L = \omega L = 314 \times 0.0115 = 3.611 \, \Omega \]Mòdul de la impedància:\[ Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{10^2 + 3.611^2} = 10.634 \, \Omega \approx 10.63 \, \Omega \]Angle de desfasament:\[ \varphi = \tan^{-1}\left(\frac{X_L}{R}\right) = \tan^{-1}(0.3611) = 19.9^\circ \]

Triangle d’impedàncies R (horitzontal): 10 Ω  Xₗ (vertical): 3.61 Ω  Z (hipotenusa): 10.63 Ω

3. Valor eficaç del corrent\[ I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{10.634} = 20.69 \, \text{A} \approx 20.7 \, \text{A} \]

4. Expressió instantània del corrent i desfasament. Valor de pic del corrent: \( I_m = 20.69 \times \sqrt{2} = 29.26 \, \text{A} \)Com que és un circuit inductiu, el corrent va endarrerit respecte la tensió un angle \( \varphi = 19.9^\circ \).\[ i(t) = 29.3 \sin(314 t – 19.9^\circ) \, \text{A} \]

5. Tensió eficaç als elements i triangle de tensions- Tensió a la resistència: \( V_R = I R = 20.69 \times 10 = 206.9 \, \text{V} \approx 207 \, \text{V} \)- Tensió a la bobina: \( V_L = I X_L = 20.69 \times 3.611 = 74.7 \, \text{V} \). Comprovació: \( \sqrt{207^2 + 74.7^2} \approx 220 \, \text{V} \)

Triangle de tensions Vʀ (horitzontal): 207 V  Vₗ (vertical): 74.7 V  V (hipotenusa): 220 V

6. Factor de potència\[ \text{FP} = \cos \varphi = \frac{R}{Z} = \frac{10}{10.634} = 0.940 \]Factor de potència = 0.94 endarrerit

7. Potències i triangle de potències

• Potència aparent: \( S = V I = 220 \times 20.69 = 4552 \, \text{VA} \approx 4550 \, \text{VA} \)

• Potència activa: \( P = V I \cos\varphi = 220 \times 20.69 \times 0.940 = 4280 \, \text{W} \)

• Potència reactiva: \( Q = V I \sin\varphi = 220 \times 20.69 \times 0.342 \approx 1550 \, \text{var} \) (inductiva)

Triangle de potències P (horitzontal): 4280 W  Q (vertical): 1550 var  S (hipotenusa): 4550 VA