Cinemàtica d’una Varilla Rígida en el Pla XY

Una varilla rígida de longitud \( L = 10 \, \text{cm} \) es mou en el pla XY. En un instant determinat, les velocitats lineals dels seus extrems són \( \vec{v}_1 = 2 \hat{i} \, \text{m/s} \) i \( \vec{v}_2 = -\hat{i} – \hat{j} \, \text{m/s} \), i l’extrem 1 es troba a l’origen de coordenades. Calcular per a aquest instant de temps la velocitat angular de la varilla i la posició de l’extrem 2.

Dades proporcionades

• Longitud de la varilla: \( L = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m} \).

• Velocitat de l’extrem 1: \( \vec{v}_1 = 2 \hat{i} \, \text{m/s} \).

• Velocitat de l’extrem 2: \( \vec{v}_2 = -\hat{i} – \hat{j} \, \text{m/s} \).

• Posició de l’extrem 1: \( (0, 0) \) (origen).

• Objectiu: calcular la velocitat angular \( \vec{\omega} \) i la posició de l’extrem 2 (\( \vec{r}_2 \)).

Pas 1: Entendre el moviment de la varilla rígida. El moviment d’una varilla rígida combina traslació i rotació. La velocitat d’un punt qualsevol es dona per:\[\vec{v}_2 = \vec{v}_1 + \vec{\omega} \times \vec{r}_{12}\]on:- \( \vec{r}_{12} = \vec{r}_2 – \vec{r}_1 \) és el vector des de l’extrem 1 fins a l’extrem 2.- \( \vec{\omega} = \omega \hat{k} \) és la velocitat angular (perpendicular al pla XY).Com que l’extrem 1 és a l’origen (\( \vec{r}_1 = (0, 0) \)), tenim \( \vec{r}_{12} = \vec{r}_2 = (x_2, y_2) \), i la longitud de la varilla imposa:\[x_2^2 + y_2^2 = L^2 = 0.01\]

Pas 2: Calcular la velocitat angular \( \omega \). Substituïm a l’equació de velocitat:\[\vec{v}_2 = \vec{v}_1 + \vec{\omega} \times \vec{r}_{12}\]- \( \vec{v}_1 = 2 \hat{i} \).- \( \vec{v}_2 = -\hat{i} – \hat{j} \).- \( \vec{r}_{12} = (x_2, y_2) \).- \( \vec{\omega} = \omega \hat{k} \).El producte vectorial és:\[\vec{\omega} \times \vec{r}_{12} = \omega \hat{k} \times (x_2 \hat{i} + y_2 \hat{j}) = \omega (x_2 \hat{j} – y_2 \hat{i}) = -\omega y_2 \hat{i} + \omega x_2 \hat{j}\]Així:\[\vec{v}_2 = \vec{v}_1 + (-\omega y_2 \hat{i} + \omega x_2 \hat{j})\]\[-\hat{i} – \hat{j} = 2 \hat{i} + (-\omega y_2 \hat{i} + \omega x_2 \hat{j})\]Igualant components:

1. Component \( \hat{i} \):\[-1 = 2 – \omega y_2 \implies \omega y_2 = 3 \implies y_2 = \frac{3}{\omega}\]

2. Component \( \hat{j} \):\[-1 = 0 + \omega x_2 \implies \omega x_2 = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{\omega}\]Usem la condició de longitud:\[x_2^2 + y_2^2 = \left(-\frac{1}{\omega}\right)^2 + \left(\frac{3}{\omega}\right)^2 = \frac{1}{\omega^2} + \frac{9}{\omega^2} = \frac{10}{\omega^2} = 0.01\]\[\omega^2 = \frac{10}{0.01} = 1000 \implies \omega = \pm \sqrt{1000} = \pm 10\sqrt{10} \, \text{rad/s}\]

Pas 3: Posició de l’extrem 2 i verificació. Provem amb \( \omega = -10\sqrt{10} \, \text{rad/s} \) (rotació en sentit horari):- \( x_2 = -\frac{1}{\omega} = -\frac{1}{-10\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{100} \approx 0.03162 \, \text{m} \).- \( y_2 = \frac{3}{\omega} = \frac{3}{-10\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{100} \approx -0.09487 \, \text{m} \).Verifiquem la longitud:\[x_2^2 + y_2^2 = \left(\frac{\sqrt{10}}{100}\right)^2 + \left(-\frac{3\sqrt{10}}{100}\right)^2 = \frac{10}{10000} + \frac{90}{10000} = 0.01\]Correcte (\( \sqrt{0.01} = 0.1 \, \text{m} \)).Verifiquem la velocitat:\[\vec{\omega} \times \vec{r}_{12} = (-10\sqrt{10}) \hat{k} \times \left( \frac{\sqrt{10}}{100} \hat{i} – \frac{3\sqrt{10}}{100} \hat{j} \right) = -10\sqrt{10} \left( \frac{\sqrt{10}}{100} \hat{j} + \frac{3\sqrt{10}}{100} \hat{i} \right)\]\[= -3 \hat{i} – 1 \hat{j}\]\[\vec{v}_2 = \vec{v}_1 + (-3 \hat{i} – 1 \hat{j}) = 2 \hat{i} + (-3 \hat{i} – 1 \hat{j}) = -\hat{i} – \hat{j}\]Coincideix amb \( \vec{v}_2 \). Per tant, \( \omega = -10\sqrt{10} \, \text{rad/s} \) és correcte.

Resposta final

1. Velocitat angular:\[\vec{\omega} = -10\sqrt{10} \hat{k} \, \text{rad/s} \approx -31.62 \hat{k} \, \text{rad/s}\](Indica rotació en sentit horari).

2. Posició de l’extrem 2:\[\vec{r}_2 = \left( \frac{\sqrt{10}}{100}, -\frac{3\sqrt{10}}{100} \right) \approx (0.03162, -0.09487) \, \text{m}\]