Cilindre compost rodant per un pla inclinat

Un cilindre buit de radi $r$, espessor despreciable $e \ll r$ i massa $m_1 = 72 \, \text{kg}$, roda sense lliscar per un pla inclinat format per dos carrils. Aquest cilindre porta solidàriament unit un cilindre massís, coaxial amb l’anterior, de radi $R = 6r$ i massa $m_2 = 248 \, \text{kg}$. Es suposa que el conjunt es deixa anar des del repòs des de la part més elevada del pla, que correspon a una alçada $h = 0{,}9 \, \text{m}$. Es demana calcular la velocitat de translació del conjunt quan arriba a la part més baixa del pla inclinat.

---

Aplicarem el principi de conservació de l’energia mecànica al sistema format pel cilindre buit i el cilindre massís, suposant que no hi ha fregament que dissipi energia (ja que roda sense lliscar).

---

🔹 1. Energia potencial inicial

L’energia potencial inicial del sistema és: $E_i = (m_1 + m_2) \cdot g \cdot h$

---

🔹 2. Energia cinètica final

Quan el conjunt arriba a baix, té:

• Energia cinètica de translació: $\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$
• Energia cinètica de rotació: $\frac{1}{2}I_\text{total} \omega^2$

On:

• $v$: velocitat de translació del conjunt
• $\omega$: velocitat angular
• $I_\text{total}$: moment d’inèrcia total del conjunt

---

🔹 3. Moments d’inèrcia

• Cilindre buit ($m_1$, radi $r$):

$$I_1 = m_1 r^2$$

• Cilindre massís (massa $m_2$, radi $R = 6r$):

$$I_2 = \frac{1}{2} m_2 R^2 = \frac{1}{2} m_2 (6r)^2 = 18 m_2 r^2$$

Moment total: $$I_\text{total} = I_1 + I_2 = r^2 (m_1 + 18m_2)$$

---

🔹 4. Relació entre velocitat lineal i angular

Com que el conjunt roda sense lliscar sobre el cilindre gran de radi $R = 6r$: $$v = R \cdot \omega = 6r \cdot \omega \Rightarrow \omega = \frac{v}{6r}$$

---

🔹 5. Conservació de l’energia

$$\frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + \frac{1}{2} I_\text{total} \cdot \omega^2$$

Substituint: $$(m_1 + m_2) g h = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + \frac{1}{2} r^2 (m_1 + 18m_2) \left( \frac{v}{6r} \right)^2$$

Simplificant: $$(m_1 + m_2) g h = v^2\cdot\left[\frac{1}{2}(m_1 + m_2) + \frac{1}{72}(m_1 + 18m_2)\right]$$

---

🔹 6. Substitució de valors

• $m_1 = 72 \, \text{kg}$
• $m_2 = 248 \, \text{kg}$
• $h = 0{,}9 \, \text{m}$
• $g = 9{,}8 \, \text{m/s}^2$

L’esquerra: $$E_i = 320 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}9 = 2822{,}4 \, \text{J}$$

La dreta: $$\text{Factor multiplicador de } v^2 = \frac{1}{2} \cdot 320 + \frac{1}{72} (72 + 18 \cdot 248) = 160 + 63 = 223$$

Llavors: $$2822{,}4 =v^2 \cdot223\Longrightarrow v^2 = \frac{2822{,}4}{223} \approx 12{,}65$$ $$v \approx \sqrt{12{,}65} \approx 3{,}56 \, \text{m/s}$$

---

✅ Resultat final:

$$\boxed{v \approx 3{,}56 \, \text{m/s}}$$