Ciclista fent un looping

Una ciclista que surt del repòs descriu un looping circular de $200$ m de radi, i assoleix els $72$ km/h en $0,5$ minuts. Trobeu l’acceleració total de la ciclista un cop ha transcorregut aquest temps.

Per calcular l’acceleració total de la ciclista després de $0,5$ minuts, hem de tenir en compte tant l’acceleració tangencial com la centrípeta.

Dades del problema:

• Radi del looping: $R = 200$ m
• Velocitat final: $v_f = 72$ km/h $= \frac{72 \text{ km/h}}{3.6}$ $= 20$ m/s
• Temps: $t = 0.5$ minuts $= 30$ segons

(1) Acceleració tangencial $a_t$

L’acceleració tangencial es calcula utilitzant la següent fórmula:
$$a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

On:

• $\Delta v = v_f – v_i$ és el canvi en velocitat
• $\Delta t$ és el temps

Atès que la ciclista surt del repòs, la velocitat inicial $v_i = 0$:
$$a_t = \frac{20 \text{ m/s} – 0 \text{ m/s}}{30 \text{ s}} = \frac{20}{30} \text{ m/s}^2 = \frac{2}{3} \text{ m/s}^2$$

(2) Acceleració centrípeta $a_c$

L’acceleració centrípeta es calcula utilitzant la següent fórmula:
$$a_c = \frac{v^2}{R}$$

On:

• $v$ és la velocitat lineal
• $R$ és el radi del cercle

Utilitzant la velocitat final $v_f = 20 \text{ m/s}$:
$$a_c = \frac{(20 \text{ m/s})^2}{200 \text{ m}} = \frac{400}{200} \text{ m/s}^2 = 2 \text{ m/s}^2$$

(3) Acceleració total $a_{\text{total}}$

L’acceleració total és la combinació de l’acceleració tangencial i la centrípeta, que són perpendiculars entre si. Per tant, podem utilitzar el teorema de Pitàgores per trobar la magnitud de l’acceleració total:
$$a_{\text{total}} = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$$

Substituïm els valors calculats:
$$a_{\text{total}} = \sqrt{\left(\frac{2}{3} \text{ m/s}^2\right)^2 + (2 \text{ m/s}^2)^2}$$
$$a_{\text{total}} = \sqrt{\left(\frac{4}{9}\right) + 4}$$
$$a_{\text{total}} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{36}{9}}$$
$$a_{\text{total}} = \sqrt{\frac{40}{9}}$$
$$a_{\text{total}} = \sqrt{4.44}$$
$$a_{\text{total}} \approx 2.11 \text{ m/s}^2$$

Resum

L’acceleració total de la ciclista després de $0,5$ minuts és aproximadament $2.11$ m/s².