Canvi d’eix de gir d’un disc homogeni

Un disc circular homogeni gira en el seu pla al voltant d’un eix normal al disc que passa pel seu centre. Sobtadament, aquest eix queda lliure i el disc comença a girar al voltant d’un altre eix paral·lel, però que passa per un punt del perímetre del disc. Determina la relació entre les velocitats angulars del disc en el primer i el segon moviment.

🔹 1. Principi fonamental: Conservació del moment angular

En absència de torques externes, el moment angular respecte al nou eix es conserva.

🔹 2. Moments d’inèrcia

Per un disc homogeni de massa $m$ i radi $R$:

• Respecte al centre del disc: $I_C = \frac{1}{2} m R^2$
• Respecte a un punt del perímetre (usant el teorema dels eixos paral·lels): $I_P = I_C + m R^2 = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2$

🔹 3. Aplicació de la conservació del moment angular

Suposem que la velocitat angular inicial és $\omega_1$, respecte al centre. El moment angular inicial: $$L_1 = I_C \cdot \omega_1 = \frac{1}{2} m R^2 \cdot \omega_1$$

Després del canvi d’eix, la velocitat angular és $\omega_2$, respecte al perímetre: $$L_2 = I_P \cdot \omega_2 = \frac{3}{2} m R^2 \cdot \omega_2$$

Com que es conserva el moment angular: $$\frac{1}{2} m R^2 \cdot \omega_1 = \frac{3}{2} m R^2 \cdot \omega_2$$

Simplificant: $$\frac{1}{2} \omega_1 = \frac{3}{2} \omega_2 \Rightarrow \omega_2 = \frac{1}{3} \omega_1$$

🎯 Resultat final:

$$\boxed{\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{1}{3}}$$

És a dir, la velocitat angular es redueix a una tercera part quan el disc comença a girar al voltant d’un eix situat al seu perímetre.