Càlculs Hidrodinàmics: Secció d’Orifici i Pressió al Dipòsit

Per un petit orifici d’un dipòsit surt aigua a raó de $180$ litres/minut. Si es manté el desnivell de $50$ cm entre l’orifici i la superfície lliure del líquid, cal calcular: a) la secció de l’orifici; b) si es tanca l’orifici i sobre l’aigua es diposita una capa d’oli de $10$ cm d’espessor, quin serà la pressió al fons del dipòsit? Dades: densitat de l’aigua \( \rho_{\text{aigua}} = 1 \, \text{g/cm}^3 \), \( \rho_{\text{oli}} = 0,85 \, \text{g/cm}^3 \) i \( P_{\text{atm}} = 101325 \, \text{Pa} \).

a) Secció de l’orifici

• Cabal: \( Q = 180 \, \text{litres/minut} = 180 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3 / 60 \, \text{s} = 0,003 \, \text{m}^3/\text{s} \)

• Desnivell: \( h = 50 \, \text{cm} = 0,5 \, \text{m} \)

• Densitat de l’aigua: \( \rho_{\text{aigua}} = 1 \, \text{g/cm}^3 = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)

• Acceleració gravitatòria: \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \)

Usant l’equació de Torricelli: \( v = \sqrt{2gh} \)

• \( v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 0,5} = \sqrt{9,81} \approx 3,13 \, \text{m/s} \)

Cabal: \( Q = A \cdot v \), on \( A \) és la secció de l’orifici.

• \( A = \frac{Q}{v} = \frac{0,003}{3,13} \approx 9,58 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2 \)

Resposta: La secció de l’orifici és aproximadament \( 9,58 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2 \).

b) Pressió al fons del dipòsit amb oli

• Altura de l’aigua: \( h_{\text{aigua}} = 0,5 \, \text{m} \) (desnivell original)

• Espessor de l’oli: \( h_{\text{oli}} = 10 \, \text{cm} = 0,1 \, \text{m} \)

• Densitat de l’oli: \( \rho_{\text{oli}} = 0,85 \, \text{g/cm}^3 = 850 \, \text{kg/m}^3 \)

• Densitat de l’aigua: \( \rho_{\text{aigua}} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)

• Pressió atmosfèrica: \( P_{\text{atm}} = 101325 \, \text{Pa} \)

Pressió hidrostàtica total al fons:

• Pressió de l’oli: \( P_{\text{oli}} = \rho_{\text{oli}} \cdot g \cdot h_{\text{oli}} = 850 \cdot 9,81 \cdot 0,1 \approx 833,85 \, \text{Pa} \)

• Pressió de l’aigua: \( P_{\text{aigua}} = \rho_{\text{aigua}} \cdot g \cdot h_{\text{aigua}} = 1000 \cdot 9,81 \cdot 0,5 \approx 4905 \, \text{Pa} \)

• Pressió total: \( P_{\text{total}} = P_{\text{atm}} + P_{\text{oli}} + P_{\text{aigua}} \)

• \( P_{\text{total}} = 101325 + 833,85 + 4905 \approx 106063,85 \, \text{Pa} \)

Resposta: La pressió al fons del dipòsit serà aproximadament \( 106064 \, \text{Pa} \).