Càlcul radi atòmic i densitat

Càlcul radi atòmic i densitat
8 de setembre de 2024 No hi ha comentaris Física, Tecnologia Industrial Oscar Alex Fernandez Mora

El ferro $M = 55.847$ cristal·litza en una xarxa cúbica centrada al cos (BCC). Determineu el radi atòmic (en cm) del ferro i la seva densitat teòrica sabent que el paràmetre de xarxa és $0.2866$ nm.

1. Càlcul del radi atòmic

En una xarxa cúbica centrada en el cos (BCC), la relació entre el paràmetre de la xarxa ((a)) i el radi atòmic $r$ està donada per la següent fórmula geomètrica:

$$\sqrt{3} \cdot a = 4r$$

Aquesta fórmula ve del fet que, en una cel·la unitaria BCC, els àtoms estan en contacte al llarg de la diagonal del cub, i aquesta diagonal és $\sqrt{3} \cdot a$, que conté $4$ radis atòmics.

Pas 1: Convertir el paràmetre de xarxa a cm

El paràmetre de xarxa ens el donen en nanòmetres:

$$a = 0.2866 \, \text{nm} = 0.2866 \times 10^{-7} \, \text{cm}$$

Pas 2: Aplicar la fórmula per trobar el radi atòmic

Ara, utilitzem la relació $\sqrt{3} \cdot a = 4r$ per calcular el radi atòmic:

$$r = \frac{\sqrt{3} \cdot a}{4}$$

Substituïm el valor de $a$:

$$r = \frac{\sqrt{3} \cdot 0.2866 \times 10^{-7}}{4}$$

Calculant:

$$r = \frac{1.732 \cdot 0.2866 \times 10^{-7}}{4} = \frac{0.4966 \times 10^{-7}}{4} = 0.1241 \times 10^{-7} \, \text{cm}$$

$$r = 1.241 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$

Resultat del radi atòmic:

El radi atòmic del ferro és $1.241 \times 10^{-8} \, \text{cm}$.


2. Càlcul de la densitat teòrica

La fórmula per calcular la densitat teòrica $\rho$ és:

$$\rho = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot a^3}$$

On:

  • $n$ és el nombre d’àtoms per cel·la unitaria (en una xarxa BCC, $n = 2$).
  • $M$ és la massa molar del material ($M = 55.847 \, \text{g/mol}$).
  • $N_A$ és el nombre d’Avogadro ($N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}$).
  • $a$ és el paràmetre de xarxa en cm ($a = 0.2866 \times 10^{-7} \, \text{cm}$).

Pas 1: Calcular el volum de la cel·la unitaria

El volum de la cel·la unitaria és:

$$V_{\text{cel·la}} = a^3 = (0.2866 \times 10^{-7})^3 = 2.351 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3$$

Pas 2: Aplicar la fórmula de la densitat

Substituïm els valors a la fórmula de la densitat:

$$\rho = \frac{2 \cdot 55.847}{6.022 \times 10^{23} \cdot 2.351 \times 10^{-23}}$$

Primer calculem el denominador:

$$6.022 \times 10^{23} \cdot 2.351 \times 10^{-23} = 1.415 \times 10^1$$

Ara, substituïm i calculem:

$$\rho = \frac{111.694}{14.15} \approx 7.89 \, \text{g/cm}^3$$

Resultat de la densitat teòrica:

La densitat teòrica del ferro és aproximadament $7.89 \, \text{g/cm}^3$.


Resum dels resultats:

  • Radi atòmic del ferro: $1.241 \times 10^{-8} \, \text{cm}$.
  • Densitat teòrica del ferro: $7.89 \, \text{g/cm}^3$.
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *