LEMNISCATA
Matemàtiques
El ferro $M = 55.847$ cristal·litza en una xarxa cúbica centrada al cos (BCC). Determineu el radi atòmic (en cm) del ferro i la seva densitat teòrica sabent que el paràmetre de xarxa és $0.2866$ nm.
En una xarxa cúbica centrada en el cos (BCC), la relació entre el paràmetre de la xarxa ((a)) i el radi atòmic $r$ està donada per la següent fórmula geomètrica:
$$\sqrt{3} \cdot a = 4r$$
Aquesta fórmula ve del fet que, en una cel·la unitaria BCC, els àtoms estan en contacte al llarg de la diagonal del cub, i aquesta diagonal és $\sqrt{3} \cdot a$, que conté $4$ radis atòmics.
El paràmetre de xarxa ens el donen en nanòmetres:
$$a = 0.2866 \, \text{nm} = 0.2866 \times 10^{-7} \, \text{cm}$$
Ara, utilitzem la relació $\sqrt{3} \cdot a = 4r$ per calcular el radi atòmic:
$$r = \frac{\sqrt{3} \cdot a}{4}$$
Substituïm el valor de $a$:
$$r = \frac{\sqrt{3} \cdot 0.2866 \times 10^{-7}}{4}$$
Calculant:
$$r = \frac{1.732 \cdot 0.2866 \times 10^{-7}}{4} = \frac{0.4966 \times 10^{-7}}{4} = 0.1241 \times 10^{-7} \, \text{cm}$$
$$r = 1.241 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$
El radi atòmic del ferro és $1.241 \times 10^{-8} \, \text{cm}$.
La fórmula per calcular la densitat teòrica $\rho$ és:
$$\rho = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot a^3}$$
On:
El volum de la cel·la unitaria és:
$$V_{\text{cel·la}} = a^3 = (0.2866 \times 10^{-7})^3 = 2.351 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3$$
Substituïm els valors a la fórmula de la densitat:
$$\rho = \frac{2 \cdot 55.847}{6.022 \times 10^{23} \cdot 2.351 \times 10^{-23}}$$
Primer calculem el denominador:
$$6.022 \times 10^{23} \cdot 2.351 \times 10^{-23} = 1.415 \times 10^1$$
Ara, substituïm i calculem:
$$\rho = \frac{111.694}{14.15} \approx 7.89 \, \text{g/cm}^3$$
La densitat teòrica del ferro és aproximadament $7.89 \, \text{g/cm}^3$.