Càlcul dels Camps Elèctric i Desplaçament en un Cable Coaxial

Considerem un cable coaxial de $50$ cm de longitud, amb un radi interior de $1$ mm i un radi exterior de $4$ mm. Es suposa que l’espai entre ambdós conductors està ple d’aire. La càrrega total en el conductor interior és $30$ nC. Es desitja conèixer la densitat de càrrega en cada conductor, així com els camps $E$ i $D$.

Comencem calculant la densitat de càrrega superficial del cilindre interior:

$$\rho_S^{\text{cilindre interior}} = \frac{Q_{\text{cilindre interior}}}{2\pi a L} = \frac{30 \times 10^{-9}}{2\pi (10^{-3})(0,5)} = 9,55 \, \mu\text{C/m}^2$$

La densitat de càrrega negativa en la superfície interior del cilindre exterior és:

$$\rho_S^{\text{cilindre exterior}} = \frac{Q_{\text{cilindre exterior}}}{2\pi b L} = \frac{-30 \times 10^{-9}}{2\pi (4 \times 10^{-3})(0,5)} = -2,39 \, \mu\text{C/m}^2$$

Per tant, els camps interns es poden calcular fàcilment:

$$D_\rho = \frac{\rho_S}{\rho} = \frac{10^{-9}(9,55 \times 10^{-6})}{\rho} = \frac{9,55}{\rho} \, \text{nC/m}^2$$

$$E_\rho = \frac{D_\rho}{\varepsilon_0} = \frac{9,55 \times 10^{-9}}{8,854 \times 10^{-12} \rho} = \frac{1.079}{\rho} \, \text{V/m}$$

Amdues expressions s’apliquen a la regió on $1 < \rho < 4 \, \text{mm}$. Per a $\rho < 1 \, \text{mm}$ o $\rho > 4 \, \text{mm}$, $E$ i $D$ són zero.