Càlcul del Tamany Mínim de Mostra per a una Proporció amb un Nivell de Confiança del 95%

En una població, per cada persona que fuma $4$ no ho fan. Calcular el tamany mínim que ha de tenir una mostra de dita població perquè, amb un nivell de confiança del $95\%$, la proporció muestral i la poblacional no difereixin en més de $0,04$. Explicar els passos seguits per obtenir la resposta.

DADES:

• \( p = P(\text{Fuma}) = 1/5 = 0,2 \); \( E < 0,04 \); \( P(-Z_c \leq Z \leq Z_c) = 0,95 \)

• \( \bar{X} = p = 0,2 \); \( q = 1 – p = 0,8 \); \( \sigma = \sqrt{pq} = \sqrt{0,2 \cdot 0,8} = 0,4 \)

• \( P(-Z_c \leq Z \leq Z_c) = 0,975 \rightarrow Z_c = 1,96 \)

• \( E = Z_c \frac{\sqrt{pq}}{\sqrt{n}} \rightarrow 0,04 = 1,96 \frac{0,4}{\sqrt{n}} \rightarrow (0,04)^2 = \frac{(0,784)^2}{n} \rightarrow n = 384,16 \)

Sol.: Perquè \( E < 0,04 \rightarrow n > 384,16 \rightarrow n = 385 \)