Càlcul del Radi de l’Òrbita de Cal·listo Utilitzant les Lleis de Kepler

Es coneixen com a satèl·lits galileans les llunes més grans de Júpiter descobertes per Galileu Galilei el $1610$. Io, el satèl·lit galileà més proper a Júpiter, té un període orbital de $1,8$ dies i el radi de la seva òrbita és, aproximadament, tres vegades el diàmetre de Júpiter. Així mateix, el període orbital de Cal·listo (el quart satèl·lit galileà segons la distància a Júpiter) és de $16,7$ dies. Amb aquests dades, suposant òrbites circulars i que el radi de Júpiter és $7,15 \times 10^7 \, \text{m}$, calculeu el radi de l’òrbita de Cal·listo.

Resposta:

Dades donades:

• Període orbital d’Io ($T_1$) = 1,8 dies
• Període orbital de Cal·listo ($T_2$) = 16,7 dies
• Radi de Júpiter ($R_J$) = $7,15 \times 10^7 \, \text{m}$
• El radi de l’òrbita d’Io és aproximadament $3$ vegades el diàmetre de Júpiter. Com que el diàmetre és el doble del radi, el radi de l’òrbita d’Io ($r_1$) és:

$$r_1 = 3 \cdot (2 \cdot R_J) = 6 \cdot R_J = 6 \cdot (7,15 \times 10^7) = 4,29 \times 10^8 \, \text{m}$$

• Suposem òrbites circulars, per la qual cosa podem aplicar la tercera llei de Kepler per a satèl·lits, que estableix que el quadrat del període orbital és proporcional al cub del radi de l’òrbita:

$$\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$$

on $r_2$ és el radi de l’òrbita de Cal·listo.

Càlcul:

1. Convertim els períodes a segons (per consistència):

• $T_1 = 1,8 \, \text{dies} = 1,8 \cdot 24 \cdot 3600 = 155520 \, \text{s}$
• $T_2 = 16,7 \, \text{dies} = 16,7 \cdot 24 \cdot 3600 = 1442880 \, \text{s}$

1. Apliquem la tercera llei de Kepler:
   $$\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$$ Aïllem ( r_2^3 ): $$r_2^3 = r_1^3 \cdot \frac{T_2^2}{T_1^2}$$ Substituint els valors:

• $r_1 = 4,29 \times 10^8 \, \text{m}$
• $T_1^2 = (155520)^2 \approx 2,419 \times 10^{10} \, \text{s}^2$
• $T_2^2 = (1442880)^2 \approx 2,082 \times 10^{12} \, \text{s}^2$ $$r_2^3 = (4,29 \times 10^8)^3 \cdot \frac{2,082 \times 10^{12}}{2,419 \times 10^{10}}$$
• $(4,29 \times 10^8)^3 = 4,29^3 \times 10^{24} \approx 78,98 \times 10^{24} \approx 7,898 \times 10^{25} \, \text{m}^3$
• $\frac{2,082 \times 10^{12}}{2,419 \times 10^{10}} \approx 86,08$ $$r_2^3 \approx (7,898 \times 10^{25}) \cdot 86,08 \approx 6,799 \times 10^{27} \, \text{m}^3$$

1. Calculem $r_2$:
   $$r_2 = \sqrt[3]{6,799 \times 10^{27}} \approx 1,90 \times 10^9 \, \text{m}$$

Verificació:

La relació entre els períodes i els radis ha de complir la llei de Kepler. Comprovem:

• $\frac{T_2^2 / T_1^2}{r_2^3 / r_1^3} \approx 1$, cosa que confirma que el càlcul és consistent.

Resposta:

El radi de l’òrbita de Cal·listo és aproximadament $1,90 \times 10^9 \, \text{m}$.