Càlcul del Període de Semidesintegració, Temps de Reducció i Activitat Inicial d’una Mostra de $^{60}\text{Co}$

Considereu una mostra radioactiva que conté $120$ g de $^{60}\text{Co}$, que té una constant de desintegració de $4.2 \times 10^{-9} \, \text{s}^{-1}$. Determineu: (a) El període de semidesintegració d’aquest núclid. (b) El temps que ha de transcórrer perquè la mostra quedi reduïda a $40$ g. (c) L’activitat inicial de la mostra. (Dades: $N_A = 6.02 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}$, massa del $^{60}\text{Co}$: 59.93 u.)

a) Període de semidesintegració
El període de semidesintegració ($T_{1/2}$) està relacionat amb la constant de desintegració ($\lambda$) segons:
$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$
Substituint $\lambda = 4.2 \times 10^{-9} \, \text{s}^{-1}$:
$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{4.2 \times 10^{-9}} = \frac{0.693}{4.2 \times 10^{-9}} \approx 1.65 \times 10^8 \, \text{s}$$
Convertint a anys (1 any $\approx 3.156 \times 10^7 \, \text{s})$:
$$1.65 \times 10^8 \div 3.156 \times 10^7 \approx 5.23 \, \text{anys}$$
Resposta: El període de semidesintegració és $5.23$ anys.

b) Temps per reduir la mostra a $40$ g
La massa de la mostra canvia amb el temps segons l’equació:
$$m(t) = m_0 e^{-\lambda t}$$
On $m_0 = 120 \, \text{g}$, $m(t) = 40 \, \text{g}$, i $\lambda = 4.2 \times 10^{-9} \, \text{s}^{-1}$. Substituint:
$$40 = 120 \cdot e^{-4.2 \times 10^{-9} t}$$
Dividint per $120$:
$$\frac{40}{120} = e^{-4.2 \times 10^{-9} t} \implies 0.333 = e^{-4.2 \times 10^{-9} t}$$
Aplicant el logaritme natural:
$$\ln 0.333 = -4.2 \times 10^{-9} t$$
Sabem que (\ln 0.333 \approx -1.099). Per tant:
$$t = \frac{-\ln 0.333}{4.2 \times 10^{-9}} = \frac{1.099}{4.2 \times 10^{-9}} \approx 2.62 \times 10^8 \, \text{s}$$
Convertint a anys:
$$2.62 \times 10^8 \div 3.156 \times 10^7 \approx 8.30 \, \text{anys}$$
Resposta: El temps necessari és $8.30$ anys.

c) Activitat inicial de la mostra
L’activitat inicial ($A_0$) es calcula com:
$$A_0 = \lambda N_0$$
On $N_0$ és el nombre inicial de nuclis, determinat per:
$$N_0 = \frac{m_0 \cdot N_A}{m(^{60}\text{Co})}$$
Substituint $m_0 = 120 \, \text{g}$, $N_A = 6.02 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}$, i $m(^{60}\text{Co}) = 59.93 \, \text{g/mol}$:
$$N_0 = \frac{120 \cdot 6.02 \times 10^{23}}{59.93} \approx 1.21 \times 10^{24} \, \text{nuclis}$$
Ara calculem l’activitat inicial:
$$A_0 = \lambda N_0 = 4.2 \times 10^{-9} \cdot 1.21 \times 10^{24} \approx 5.08 \times 10^{15} \, \text{Bq}$$
Resposta: L’activitat inicial és $5.08 \times 10^{15} \, \text{Bq}$.

Resum de resultats:
(a) Període de semidesintegració: $5.23$ anys
(b) Temps per reduir-se a $40$ g: $8.30$ anys
(c) Activitat inicial: $5.08 \times 10^{15} \, \text{Bq}$