Càlcul del moviment d’una pedra llançada verticalment

Llançam una pedra cap amunt amb una velocitat de 8 m/s des d’una alçada de 3 m sobre el nivell del terra. a) Fins quina alçada màxima arriba? b) Amb quina velocitat arriba a terra?

Els objectes que es mouen sota l’acció del seu pes pateixen una acceleració vertical i cap avall de \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \). En aquest cas, tot el moviment es desenvolupa en la direcció vertical, i com que l’acceleració és constant, es tracta d’un MRUA. Com que el moviment es desenvolupa en la direcció vertical, farem coincidir l’eix \( y \) amb la direcció del moviment. A banda de fer-ho, substituïm l’eix \( x \) per \( y \), no hi ha cap altra diferència en el tractament del MRUA.\( y_0 = 3 \, \text{m}, \, v_0 = 8 \, \text{m/s}, \, a = -9,81 \, \text{m/s}^2 \)

Equacions de moviment:

• \( y(t) = (3 + 8t – 4,9t^2) \, \text{m} \)

• \( v_y(t) = (8 – 9,81t) \, \text{m/s} \)

• \( a_y(t) = -9,81 \, \text{m/s}^2 \)

a) En el punt de màxima alçada la velocitat es nul·la: $$v_y(t) = (8 – 9,81t) \, \text{m/s} = 0 \Rightarrow t = \frac{8}{9,81} = 0,815 \, \text{s}$$

L’alçada és: $$y(t) = (3 + 8t – 4,9t^2) \, \text{m} = 6,26 \, \text{m}$$

b) Arriba a terra quan \( y = 0 \): $$y(t) = (3 + 8t – 4,9t^2) \, \text{m} = 0 \Rightarrow t = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 58,9}}{-9,81} =\begin{cases}t_1 = -0,314 \, \text{s}, \\ t_2 = 1,94 \, \text{s}\end{cases}$$

Com que el temps és positiu, la solució correcta és \( t = 1,94 \, \text{s} \). I finalment: $$v_y(t) = (8 – 9,81t) \, \text{m/s} = -11,1 \, \text{m/s}$$