Càlcul del mòdul i angles de vectors

Els vectors \(\vec{u} = 3\vec{i} – 4\vec{j} – 12\vec{k}\), \(\vec{v} = -\vec{i} + 7\vec{j} + 6\vec{k}\). Determinau el mòdul de \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\), els angles \(\theta_x\), \(\theta_y\) i \(\theta_z\) que forma el vector \(\vec{u}\) amb els eixos de coordenades, i el mòdul del vector \(\vec{R} = 2\vec{u} + 3\vec{v}\).

\begin{align*}u &= \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13, \\v &= \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 49 + 36} = \sqrt{86} = 9,27\end{align*}$$\vec{u} \cdot \vec{v} = u \cdot v \cdot \cos\theta = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z$$\begin{align*}\cos\theta_x &= \frac{\vec{u} \cdot \vec{i}}{u} = \frac{u_x}{u} = \frac{3}{13} \Rightarrow \theta_x = 76,6^\circ, \\\cos\theta_y &= \frac{\vec{u} \cdot \vec{j}}{u} = \frac{u_y}{u} = \frac{-4}{13} \Rightarrow \theta_y = 107,9^\circ, \\\cos\theta_z &= \frac{\vec{u} \cdot \vec{k}}{u} = \frac{u_z}{u} = \frac{-12}{13} \Rightarrow \theta_z = 157,4^\circ\end{align*}\begin{align*}\vec{R} &= 2\vec{u} + 3\vec{v} = (6, -8, -24) + (-3, 21, 18) = (3, 13, -6) \\\vec{R} &= 3\vec{i} + 13\vec{j} – 6\vec{k} \\R &= \sqrt{3^2 + 13^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 169 + 36} = \sqrt{214} = 14,63\end{align*}