Càlcul del límit de tercer ordre per a la funció (f(x) = x^3 – 3x^2 + 5x – 2)

Sigui $f(x) = x^3 – 3x^2 + 5x – 2$. Es demana el valor del límit: $$\lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) – f(2) – f'(2)h – \frac{f”(2)}{2} h^2}{h^3}.$$

Pas 1: Càlcul de les derivades

$$f'(x) = 3x^2 – 6x + 5,$$
$$f”(x) = 6x – 6,$$
$$f”'(x) = 6.$$

Pas 2: Avaluació en $x = 2$

$$f(2) = 2^3 – 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 – 2 = 8 – 12 + 10 – 2 = 4,$$
$$f'(2) = 3 \cdot 4 – 6 \cdot 2 + 5 = 12 – 12 + 5 = 5,$$
$$f”(2) = 6 \cdot 2 – 6 = 12 – 6 = 6.$$

Pas 3: Expansió de $f(2 + h)$ mitjançant la fórmula de Taylor

Sabem que, per una funció tres vegades derivable,
$$f(2 + h) = f(2) + f'(2)h + \frac{f”(2)}{2} h^2 + \frac{f”'(c)}{6} h^3$$
per algun $c$ entre $2$ i $2+h$ (teorema de Taylor amb resta de Lagrange). Com que $f”'(x) = 6$ és constant, tenim exactament:
$$f(2 + h) = f(2) + f'(2)h + \frac{f”(2)}{2} h^2 + \frac{6}{6} h^3 = f(2) + f'(2)h + \frac{f”(2)}{2} h^2 + h^3.$$

Pas 4: Substitució al numerador

El numerador és:
$$f(2 + h) – f(2) – f'(2)h – \frac{f”(2)}{2} h^2 = \left[ f(2) + f'(2)h + \frac{f”(2)}{2} h^2 + h^3 \right] – f(2) – f'(2)h – \frac{f”(2)}{2} h^2 = h^3.$$

Per tant, l’expressió del límit es converteix en:
$$\lim_{h \to 0} \frac{h^3}{h^3} = \lim_{h \to 0} 1 = 1.$$

Pas 5: Mètode alternatiu (càlcul directe)

Podríem calcular $f(2 + h)$ explícitament:
$$f(2 + h) = (2 + h)^3 – 3(2 + h)^2 + 5(2 + h) – 2.$$
Expandim:
$$(2 + h)^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3,$$
$$(2 + h)^2 = 4 + 4h + h^2 \implies -3(2 + h)^2 = -12 – 12h – 3h^2,$$
$$5(2 + h) = 10 + 5h.$$
Sumem:
$$f(2 + h) = 8 + 12h + 6h^2 + h^3 – 12 – 12h – 3h^2 + 10 + 5h – 2 = (8 – 12 + 10 – 2) + (12h – 12h + 5h) + (6h^2 – 3h^2) + h^3 = 4 + 5h + 3h^2 + h^3.$$
Noteu que $\frac{f”(2)}{2} = \frac{6}{2} = 3$, per tant:
$$f(2 + h) – f(2) – f'(2)h – \frac{f”(2)}{2} h^2 = (4 + 5h + 3h^2 + h^3) – 4 – 5h – 3h^2 = h^3.$$
Novament:
$$\frac{h^3}{h^3} = 1 \quad \text{per } h \neq 0 \implies \lim_{h \to 0} 1 = 1.$$

Resposta final

El valor del límit és:
$$\boxed{1}$$