Càlcul del límit amb valor absolut

Es demana el valor del límit: $$\lim_{x \to 0} \frac{|x + 2| – |2x – 2|}{2x}.$$

El valor absolut canvia de comportament segons el signe de l’expressió interior. Cal analitzar els límits laterals per separat, ja que les expressions dins dels valors absoluts canvien de signe prop de (x = 0).

Pas 1: Punts crítics

• $x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2$,
• $2x – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$.

Prop de $x = 0$ (que està entre $-2$ i $1$):

• Per $x > -2$ (sempre cert prop de 0): $x + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad |x + 2| = x + 2$,
• Per $x < 1$ (sempre cert prop de 0): $2x – 2 < 0 \quad \Rightarrow \quad |2x – 2| = -(2x – 2) = -2x + 2$.

Conclusió: En un veïnatge de $x = 0$ (excloent exactament $x = 0$), podem escriure:
$$|x + 2| = x + 2, \quad |2x – 2| = -2x + 2.$$

Pas 2: Simplificació de l’expressió (prop de $x = 0$)

$$\frac{|x + 2| – |2x – 2|}{2x} = \frac{(x + 2) – (-2x + 2)}{2x} = \frac{x + 2 + 2x – 2}{2x} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} \quad \text{per } x \neq 0.$$

Així, la funció és constant i val $\frac{3}{2}$ per a tot $x \in (-2, 1) \setminus {0}$.

Pas 3: Límit

Com que l’expressió és constant $\frac{3}{2}$ prop de $0$ (excepte en $x=0$, on no està definida), el límit existeix i és:
$$\lim_{x \to 0} \frac{|x + 2| – |2x – 2|}{2x} = \frac{3}{2}.$$

No cal separar en laterals: l’expressió és la mateixa per $x \to 0^+$ i $x \to 0^-$.

Resposta final

El valor del límit és:
$$\boxed{\dfrac{3}{2}}$$