Càlcul del Camp Magnètic en un Cable Coaxial amb Corrents Homogenis

Tenim un cable coaxial rectilini format per un cilindre interior de radi $R_1$ i longitud infinita, pel qual circula un corrent amb densitat homogènia $\vec{J_1}$, que dona lloc a un corrent total $I_1$ quan considerem la seva secció completa. Al voltant del fil tenim la malla del cable, que es pot considerar com una escorça cilíndrica (també de longitud infinita) de radi interior $R_2$ i radi exterior $R_3$, per la qual circula un corrent amb densitat homogènia $\vec{J_2}$, que dona lloc a un corrent total $I_2$ quan considerem la seva secció completa (no s’indica el sentit d’aquest corrent). El corrent $I_1$) circula en el sentit indicat per $\vec{J_1}$. Calculeu el camp magnètic en totes les regions de l’espai, indicant el seu valor en funció del sentit de circulació del corrent $I_2$. Quin ha de ser el valor de la densitat de corrent $\vec{J_2}$, si volem que el camp magnètic s’anul·li a la regió $r > R_3$?

---

Dades i suposicions:

• Cilindre interior de radi $R_1$ amb densitat de corrent $\vec{J_1}$, que genera un corrent total $I_1$.
• Escorça cilíndrica de radi interior $R_2$ i radi exterior $R_3$, amb densitat de corrent $\vec{J_2}$, que genera un corrent total $I_2$.
• La longitud infinita implica simetria cilíndrica, i utilitzarem la llei d’Ampère per calcular el camp magnètic $\vec{B}$.
• Assumim que $\vec{J_1}$ i $\vec{J_2}$ són paral·leles a l’eix del cable (en la direcció $\hat{z}$).
• $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, \text{T·m/A}$ (permeabilitat del buit).

---

Relacions inicials:

1. Corrent total $I_1$:
   La densitat de corrent $\vec{J_1}$ és homogènia al cilindre interior. L’àrea de la secció transversal del cilindre interior és $\pi R_1^2$, per tant: $$I_1 = J_1 \cdot \pi R_1^2 \quad \Rightarrow \quad J_1 = \frac{I_1}{\pi R_1^2}.$$
2. Corrent total $I_2$:
   L’escorça cilíndrica té una secció transversal d’àrea $\pi (R_3^2 – R_2^2)$, per tant: $$I_2 = J_2 \cdot \pi (R_3^2 – R_2^2) \quad \Rightarrow \quad J_2 = \frac{I_2}{\pi (R_3^2 – R_2^2)}.$$

---

Càlcul del camp magnètic amb la llei d’Ampère:

La llei d’Ampère en forma integral és:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{encl}},$$

on $I_{\text{encl}}$ és el corrent total envoltat per la trajectòria tancada. Per simetria cilíndrica, el camp magnètic $\vec{B}$ és tangencial (en direcció $\hat{\theta}$) i només depèn de la distància radial $r$. Prenem una circumferència de radi $r$ com a trajectòria d’Ampère.

Assumim que ( \vec{J_1} ) apunta en la direcció ( +\hat{z} ), i ( \vec{J_2} ) pot apuntar en la mateixa direcció (( I_2 > 0 )) o en la contrària (( I_2 < 0 )). Això afectarà el signe de ( I_{\text{encl}} ).

---

Regions de l’espai:

1. Regió 1: $0 < r < R_1$ (dins del cilindre interior):

• El corrent envoltat per una circumferència de radi $r$ és proporcional a l’àrea envoltada: $$I_{\text{encl}} = J_1 \cdot \pi r^2 = \frac{I_1}{\pi R_1^2} \cdot \pi r^2 = I_1 \cdot \frac{r^2}{R_1^2}.$$
• Aplicarem la llei d’Ampère: $$B \cdot 2 \pi r = \mu_0 I_{\text{encl}} = \mu_0 I_1 \frac{r^2}{R_1^2},$$ $$B = \frac{\mu_0 I_1 r}{2 \pi R_1^2}, \quad \vec{B} = \frac{\mu_0 I_1 r}{2 \pi R_1^2} \hat{\theta}.$$
• La direcció de $\hat{\theta}$ depèn del sentit de $I_1$ (utilitzant la regla de la mà dreta).

1. Regió 2: $R_1 < r < R_2$ (entre el cilindre i l’escorça):

• Aquí no hi ha corrent ($J = 0$), i el corrent envoltat és només $I_1$: $$I_{\text{encl}} = I_1,$$ $$B \cdot 2 \pi r = \mu_0 I_1,$$ $$B = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r}, \quad \vec{B} = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r} \hat{\theta}.$$

1. Regió 3: $R_2 < r < R_3$ (dins de l’escorça):

• El corrent envoltat inclou $I_1$ més el corrent a l’escorça fins a radi $r$: $$I_{\text{escorça}} = J_2 \cdot \pi (r^2 – R_2^2) = \frac{I_2}{\pi (R_3^2 – R_2^2)} \cdot \pi (r^2 – R_2^2) = I_2 \frac{r^2 – R_2^2}{R_3^2 – R_2^2},$$ $$I_{\text{encl}} = I_1 + I_2 \frac{r^2 – R_2^2}{R_3^2 – R_2^2},$$ $$B \cdot 2 \pi r = \mu_0 \left( I_1 + I_2 \frac{r^2 – R_2^2}{R_3^2 – R_2^2} \right),$$ $$B = \frac{\mu_0}{2 \pi r} \left( I_1 + I_2 \frac{r^2 – R_2^2}{R_3^2 – R_2^2} \right), \quad \vec{B} = \frac{\mu_0}{2 \pi r} \left( I_1 + I_2 \frac{r^2 – R_2^2}{R_3^2 – R_2^2} \right) \hat{\theta}.$$
• El signe de $I_2$ determina si suma o resta al camp magnètic.

1. Regió 4: $r > R_3$ (fora de l’escorça):

• El corrent envoltat és el total: $$I_{\text{encl}} = I_1 + I_2,$$ $$B \cdot 2 \pi r = \mu_0 (I_1 + I_2),$$ $$B = \frac{\mu_0 (I_1 + I_2)}{2 \pi r}, \quad \vec{B} = \frac{\mu_0 (I_1 + I_2)}{2 \pi r} \hat{\theta}.$$

---

Condició perquè el camp magnètic s’anul·li a $r > R_3$:

Perquè $B = 0$ a la regió $r > R_3$:

$$\frac{\mu_0 (I_1 + I_2)}{2 \pi r} = 0 \quad \Rightarrow \quad I_1 + I_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad I_2 = -I_1.$$

Substituint $I_2 = -I_1$ a l’expressió de $J_2$:

$$J_2 = \frac{I_2}{\pi (R_3^2 – R_2^2)} = \frac{-I_1}{\pi (R_3^2 – R_2^2)}.$$

---

Resposta Final:

• Camp magnètic per regions:
• $0 < r < R_1$: $\vec{B} = \frac{\mu_0 I_1 r}{2 \pi R_1^2} \hat{\theta}$
• $R_1 < r < R_2$: $\vec{B} = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r} \hat{\theta}$
• $R_2 < r < R_3$: $\vec{B} = \frac{\mu_0}{2 \pi r} \left( I_1 + I_2 \frac{r^2 – R_2^2}{R_3^2 – R_2^2} \right) \hat{\theta}$
• $r > R_3$: ( \vec{B} = \frac{\mu_0 (I_1 + I_2)}{2 \pi r} \hat{\theta}$
• Valor de $\vec{J_2}$ perquè $B = 0$ a $r > R_3$:

$\vec{J_2} = -\frac{I_1}{\pi (R_3^2 – R_2^2)} \hat{z}, \quad \text{(en sentit oposat a}.$ $\vec{J_1}$)