Càlcul del benefici del fabricant de vehicles elèctrics

Un fabricant de vehicles elèctrics ha tret al mercat un model nou amb tant d’èxit que ven tots els que fabrica. El preu de venda de cada cotxe és de $35.000$ €. Fabricar un cert nombre de cotxes li suposa unes despeses de $C(x) = x^2 + 34.880x + 1.100$ euros, en què $x$ representa el nombre de vehicles fabricats. a) Entre quins valors ha de mantenir la producció per tal de no tenir pèrdues? b) Quants vehicles ha de fabricar per tal d’obtenir el màxim benefici? Quin valor pren aquest benefici màxim?

a) Entre quins valors ha de mantenir la producció per tal de no tenir pèrdues?

Per no tenir pèrdues, els ingressos han de ser iguals o superiors a les despeses. Sabem que:

• Els ingressos són: $35.000x$
• Les despeses són: $C(x) = x^2 + 34.880x + 1.100$

Així, la condició d’equilibri és:

\begin{equation}
35.000x \geq x^2 + 34.880x + 1.100
\end{equation}

Reordenant:

\begin{align}
x^2 + 34.880x – 35.000x + 1.100 &\leq 0 \\
x^2 – 120x + 1.100 &\leq 0
\end{align}

Resolem l’equació:

\begin{equation}
x^2 – 120x + 1.100 = 0
\end{equation}

Utilitzem la fórmula del discriminant:

\begin{align}
\Delta &= (-120)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1.100 = 14.400 – 4.400 = 10.000 \\
x &= \frac{120 \pm \sqrt{10.000}}{2} = \frac{120 \pm 100}{2}
\end{align}

Les solucions són:

\begin{align}
x_1 &= \frac{120 – 100}{2} = 10 \\
x_2 &= \frac{120 + 100}{2} = 110
\end{align}

Com que la paràbola $x^2 – 120x + 1.100$ s’obre cap amunt, la desigualtat es compleix entre $x = 10$ i $x = 110$.

Resposta: La producció ha de mantenir-se entre 10 i 110 vehicles, inclosos.

b) Quants vehicles ha de fabricar per tal d’obtenir el màxim benefici? Quin valor pren aquest benefici màxim?

El benefici és la diferència entre ingressos i despeses:

\begin{align}
B(x) &= 35.000x – (x^2 + 34.880x + 1.100) \\
&= -x^2 + 120x – 1.100
\end{align}

El màxim d’una paràbola de la forma $ax^2 + bx + c$ es troba al vèrtex:

\begin{equation}
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{120}{2 \cdot (-1)} = 60
\end{equation}

Calculem el benefici en $x = 60$:

\begin{align}
B(60) &= -60^2 + 120 \cdot 60 – 1.100 \
&= -3.600 + 7.200 – 1.100 \
&= 2.500
\end{align}

Comprovem els valors propers:

\begin{align}
B(59) &= -59^2 + 120 \cdot 59 – 1.100 = 2.499 \
B(61) &= -61^2 + 120 \cdot 61 – 1.100 = 2.499
\end{align}

Resposta: Per obtenir el màxim benefici, ha de fabricar 60 vehicles, i el benefici màxim és de 2.500 €.