Càlcul de Velocitats Mitjanes en Canonades amb Diferents Diàmetres

Per una canonada de $30$ cm de diàmetre circulen $1800$ l/min, reduint-se després el diàmetre de la canonada a $15$ cm. Calculeu les velocitats mitjanes en ambdues canonades.

Per resoldre el problema, calculem les velocitats mitjanes del fluid en les dues seccions de la canonada utilitzant l’equació de continuïtat i la fórmula de la velocitat mitjana, $v = \frac{Q}{A}$, on $Q$ és el cabal volumètric i $A$ és l’àrea de la secció transversal de la canonada.

Dades inicials:

• Cabal: $1800$ l/min. Convertim a unitats del SI:
  $$Q = 1800 \, \text{l/min} = \frac{1800}{1000} \, \text{m}^3/\text{min} = 1.8 \, \text{m}^3/\text{min} = \frac{1.8}{60} \, \text{m}^3/\text{s} = 0.03 \, \text{m}^3/\text{s}.$$
• Diàmetre de la primera canonada: $d_1 = 30 \, \text{cm} = 0.3 \, \text{m}$.
• Diàmetre de la segona canonada: $d_2 = 15 \, \text{cm} = 0.15 \, \text{m}$.

Pas 1: Calcular l’àrea de la secció transversal de cada canonada

L’àrea d’una secció circular es calcula amb la fórmula $A = \pi r^2$, on $r$ és el radi ($r = \frac{d}{2}$).

• Per la primera canonada ($d_1 = 0.3 \, \text{m}$, $r_1 = 0.15 \, \text{m}$):
  $$A_1 = \pi (0.15)^2 = \pi \cdot 0.0225 \approx 0.0707 \, \text{m}^2.$$
• Per la segona canonada ($d_2 = 0.15 \, \text{m} ), ( r_2 = 0.075 \, \text{m}$):
  $$A_2 = \pi (0.075)^2 = \pi \cdot 0.005625 \approx 0.0177 \, \text{m}^2.$$

Pas 2: Calcular la velocitat mitjana en cada canonada

La velocitat mitjana es calcula amb $v = \frac{Q}{A}$.

• Velocitat en la primera canonada ($v_1$):
  $$v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0.03}{0.0707} \approx 0.424 \, \text{m/s}.$$
• Velocitat en la segona canonada ($v_2$):
  $$v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0.03}{0.0177} \approx 1.695 \, \text{m/s}.$$

Pas 3: Verificació amb l’equació de continuïtat

L’equació de continuïtat estableix que $Q = A_1 v_1 = A_2 v_2$. Com que el cabal $Q$ és constant (0.03 m³/s), la reducció del diàmetre implica un augment de la velocitat, cosa que és coherent amb els resultats, ja que $v_2$ és major que $v_1$.

Resposta final:

• Velocitat mitjana en la canonada de $30$ cm de diàmetre: $0.42$ m/s.
• Velocitat mitjana en la canonada de $15$ cm de diàmetre: $1.70$ m/s.