Càlcul de Probabilitats amb Distribució de Poisson per a la Recepció de Pacients en una Veterinària

La veterinària d’en Jorge rep una mitjana de $\mu = 4$ pacients per dia. Sabent que el nombre de pacients que arriben en un dia segueix una distribució de Poisson, calcular: a) La probabilitat que arribin $3$ pacients en un dia. b) La probabilitat que arribin $5$ pacients en un dia.

Primer definim la nostra variable aleatòria:

$X =$ nombre de pacients que arriben en un dia.

A més, ens indiquen que aquesta variable aleatòria $X$ segueix una distribució de Poisson, per la qual cosa podem aplicar la fórmula de probabilitat:

$$f(x) = P(X = x) = \frac{e^{-\mu} \cdot \mu^x}{x!}$$

Sabem que la mitjana és $\mu = 4$ pacients per dia.

a) Probabilitat que arribin $3$ pacients en un dia

Calculem la probabilitat que arribin $3$ pacients en un dia, és a dir, $f(3)$, amb $\mu = 4$.

$$f(3) = P(X = 3) = \frac{e^{-4} \cdot 4^3}{3!}$$

Substituïm els valors:

• $e^{-4} \approx 0,0183156$
• $4^3 = 64$
• $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

$$f(3) = \frac{0,0183156 \cdot 64}{6}$$

Calculem:
$$0,0183156 \cdot 64 \approx 1,1721984$$
$$\frac{1,1721984}{6} \approx 0,1953664$$

Resposta: La probabilitat que arribin $3$ pacients en un dia és aproximadament $0,1954$ o $19,54\%$.

b) Probabilitat que arribin $5$ pacients en un dia

Calculem la probabilitat que arribin $5$ pacients en un dia, és a dir, $f(5)$, amb $\mu = 4$.

$$f(5) = P(X = 5) = \frac{e^{-4} \cdot 4^5}{5!}$$

Substituïm els valors:

• $e^{-4} \approx 0,0183156$
• $4^5 = 1024$
• $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

$$f(5) = \frac{0,0183156 \cdot 1024}{120}$$

Calculem:
$$0,0183156 \cdot 1024 \approx 18,7551744$$
$$\frac{18,7551744}{120} \approx 0,1562931$$

Resposta: La probabilitat que arribin $5$ pacients en un dia és aproximadament $0,1563$ o $15,63\%$.

Resum de respostes:

a) Probabilitat que arribin $3$ pacients: $0,1954$ o 19,54 %
b) Probabilitat que arribin $5$ pacients: $0,1563$ o 15,63 %