Càlcul de les coordenades d’un trapezi

Suposeu que $ABCD$ és un trapezi els costats no paral·lels del qual són $AB$ i $CD$. Sabent que en una referència es té $A(1,-1,1)$, $B(2,0,3)$, $C(12,-,-,-)$ i $D(7,2,-2)$, calculeu raonadament les coordenades de $C$ i digueu si les diagonals es tallen en el punt mitjà.

Suposeu que $ABCD$ és un trapezi els costats no paral·lels del qual són $AB$ i $CD$. Sabent que en una referència es té $A(1,-1,1)$, $B(2,0,3)$, $C(12,y,z)$ i $D(7,2,-2)$, calculeu raonadament les coordenades de $C$ i digueu si les diagonals es tallen en el punt mitjà.

En un trapezi hi ha exactament un parell de costats paral·lels. Com que els costats no paral·lels són $AB$ i $CD$, els costats paral·lels han de ser $AD \parallel BC$.

Calculem els vectors:

\begin{equation}
\overrightarrow{AD}=D-A=(7-1,2-(-1),-2-1)=(6,3,-3)
\end{equation}

\begin{equation}
\overrightarrow{BC}=C-B=(12-2,y-0,z-3)=(10,y,z-3)
\end{equation}

Com que $AD \parallel BC$, existeix $k\in\mathbb{R}$ tal que

\begin{equation}
\overrightarrow{BC}=k\,\overrightarrow{AD}
\;\Longrightarrow\;
(10,\;y,\;z-3)=k(6,\;3,\;-3)
\end{equation}

Això dóna el sistema:

\begin{equation}
\begin{cases}
10=6k \;\Longrightarrow\; k=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3} \\
y=3k=3\cdot\dfrac{5}{3}=5 \\
z-3=-3k=-3\cdot\dfrac{5}{3}=-5 \;\Longrightarrow\; z=-5+3=-2
\end{cases}
\end{equation}

Per tant, les coordenades de $C$ són:

\begin{equation}
\boxed{C(12,\ 5,\ -2)}
\end{equation}

Comprovació:
$\overrightarrow{BC}=(10,5,-5)=\dfrac{5}{3}(6,3,-3)=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AD}$ correcte.

Segona part: Les diagonals es tallen en el punt mitjà?

En un trapezi qualsevol, les diagonals es tallen en un punt que divideix cadascuna en la mateixa proporció, però aquest punt només és el punt mitjà de les dues diagonals quan el trapezi és un paral·lelogram.

Calculem els punts mitjans de les diagonals:

• Punt mitjà de $AC$:
  \begin{equation}
  M_{AC}=\left(\dfrac{1+12}{2},\;\dfrac{-1+5}{2},\;\dfrac{1+(-2)}{2}\right)
  =\left(\dfrac{13}{2},\;2,\;-\dfrac{1}{2}\right)
  \end{equation}
• Punt mitjà de $BD$:
  \begin{equation}
  M_{BD}=\left(\dfrac{2+7}{2},\;\dfrac{0+2}{2},\;\dfrac{3+(-2)}{2}\right)
  =\left(\dfrac{9}{2},\;1,\;\dfrac{1}{2}\right)
  \end{equation}

Com que
$$\dfrac{13}{2}\neq\dfrac{9}{2},\quad 2\neq 1,\quad -\dfrac{1}{2}\neq\dfrac{1}{2},$$

els punts mitjans són diferents.

Per tant:

\begin{equation}
\boxed{\text{No, les diagonals no es tallen en el punt mitjà}}
\end{equation}

Resum final

• Coordenades del punt $C$: $\boxed{(12,\ 5,\ -2)}$
• Les diagonals del trapezi $ABCD$ no es tallen en el punt mitjà (això només passa en els paral·lelograms).