Càlcul de les asímptotes d’una funció racional

Considerem la funció $f$ definida per $$f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x^2-1}, \qquad x\neq 1,-1.$$

a) Estudia i troba les asímptotes de la gràfica de (f).

---

Asímptotes verticals

Comencem estudiant el domini. En ser una funció racional, el seu domini és tot $\mathbb{R}$ excepte els punts on el denominador s’anul·la:

$$x^2-1=0 ;\Leftrightarrow; x=\pm 1
\quad\Rightarrow
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}-{-1,+1}.$$

Estudiem les possibles asímptotes verticals $x=-1$ i $x=1$, calculant els límits laterals corresponents.

En $x=-1$:

$$\begin{cases}
\displaystyle \lim_{x\to -1^+} f(x)
= \lim_{x\to -1^+} \frac{x^2-2x-3}{x^2-1}
= \left\{\frac{0}{0},,, \text{L’Hôpital}\right\}
= \displaystyle \frac{-4}{-2}=2 \\
\displaystyle \lim_{x\to -1^-} f(x)
= \lim_{x\to -1^-} \frac{x^2-2x-3}{x^2-1}
= \left\{\frac{0}{0},,, \text{L’Hôpital}\right\}
= \displaystyle \frac{-4}{-2}=2
\end{cases}$$

Per tant, $x=-1$ NO és una asímptota vertical; hi ha una discontinuïtat evitable.

---

En $x=1$:

$$\begin{cases}
\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)=\frac{-4}{0^+}=-\infty \\ \displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)=\frac{-4}{0^-}=+\infty
\end{cases}$$

Així doncs,
$$\boxed{x=1 \text{ és una asímptota vertical}}.$$

La funció, en apropar-se a l’asímptota per l’esquerra, tendirà a $+\infty$, i en apropar-se per la dreta, a $-\infty$.

---

Asímptotes horitzontals

$$\lim_{x\to -\infty} f(x)
= \lim_{x\to -\infty} \frac{x^2-2x-3}{x^2-1}
= \lim_{x\to -\infty} \frac{x^2}{x^2}
= 1$$

$$\lim_{x\to +\infty} f(x)
= \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2-2x-3}{x^2-1}
= \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2}{x^2}
= 1$$

Així, tant cap a $+\infty$ com cap a $-\infty$,
$$\boxed{y=1 \text{ és una asímptota horitzontal}}.$$

---

Possible punt de tall amb l’asímptota

Mirem si la funció talla l’asímptota horitzontal. Igualem:

$$\frac{x^2-2x-3}{x^2-1}=1
\Rightarrow\quad
x^2-2x-3=x^2-1
\Rightarrow\quad
-2x=2
\Rightarrow\quad
\boxed{x=-1}.$$

Aquest punt és fora del domini, així que la funció no talla mai l’asímptota.

---

Posició relativa de $f$ respecte de l’asímptota

$$\lim_{x\to \pm\infty} (f(x)-1)
= \lim_{x\to \pm\infty} \left[\frac{x^2-2x-3}{x^2-1}-1\right]$$

$$=\lim_{x\to \pm\infty} \left[\frac{-2x-2}{x^2-1}\right]
= \lim_{x\to \pm\infty} \frac{-2}{x}$$

$$\begin{cases}
\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{-2}{x}=0^+
\Rightarrow\quad f(x) \text{ s’aproxima a l’asímptota per sobre.} \[6pt]
\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{-2}{x}=0^-
\Rightarrow\quad f(x) \text{ s’aproxima a l’asímptota per sota.}
\end{cases}$$