Càlcul de l’equació del pla

Escriu l’equació del pla que conté la recta $r$: $$\begin{cases}x – y + z = 1 \\ 2x + y – z = 2\end{cases}$$ i és paral·lel a la recta $s$: $$\frac{x + 1}{3} = \frac{y – 1}{2} = \frac{z + 2}{1}$$

Per determinar l’equació d’un pla, necessitem un punt i dos vectors directors no paral·lels continguts en el pla. El pla ha de contenir la recta $r$, així que obtindrem un punt i un vector director de $r$. Com que el pla és paral·lel a la recta $s$, el vector director de $s$ també estarà contingut en el pla.

Pas 1: Obtenir un punt i un vector director de la recta $r$
Les equacions de la recta $r$ són:
$$\begin{cases}
x – y + z = 1 \\
2x + y – z = 2
\end{cases}$$

Resolem el sistema per trobar la forma paramètrica. Sumem les equacions:
$$(x – y + z) + (2x + y – z) = 1 + 2 \implies 3x = 3 \implies x = 1$$

Substituïm $x = 1$ en la primera equació:
$$1 – y + z = 1 \implies z – y = 0 \implies y = z$$

Sigui $z = \alpha$, llavors $y = \alpha$. Les equacions paramètriques són:
$$\begin{cases}
x = 1 \\
y = \alpha \\
z = \alpha
\end{cases}$$

Un punt per $\alpha = 0$:
$$P(1, 0, 0)$$

El vector director de $r$ és:
$$\vec{v}_r = (0, 1, 1)$$

Pas 2: Obtenir el vector director de la recta $s$
La recta $s$ té l’equació:
$$\frac{x + 1}{3} = \frac{y – 1}{2} = \frac{z + 2}{1}$$

El vector director és:
$$\vec{v}_s = (3, 2, 1)$$

Pas 3: Trobar l’equació del pla
El pla conté el punt $P(1, 0, 0)$ i els vectors $\vec{v}_r = (0, 1, 1)$ i $\vec{v}_s = (3, 2, 1)$. Calculem el vector normal amb el producte vectorial:
$$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & 1 & 1 \\
3 & 2 & 1
\end{vmatrix} = (-1, 3, -3)$$

L’equació del pla és $-x + 3y – 3z + d = 0$. Usant $P(1, 0, 0)$:
$$-1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 – 3 \cdot 0 + d = 0 \implies d = 1$$

L’equació del pla és:
$$-x + 3y – 3z + 1 = 0 \implies x – 3y + 3z – 1 = 0$$

Pas 4: Verificació
Substituïm les equacions de $r$:
$$x = 1, \quad y = \alpha, \quad z = \alpha$$
en $x – 3y + 3z – 1 = 0$:
$$1 – 3\alpha + 3\alpha – 1 = 0$$

Verifiquem que $\vec{v}_s = (3, 2, 1)$ és paral·lel al pla:
$$(-1) \cdot 3 + 3 \cdot 2 + (-3) \cdot 1 = -3 + 6 – 3 = 0$$

Resposta final
L’equació del pla és:
$$\boxed{x – 3y + 3z – 1 = 0}$$