Càlcul de l’Energia d’Activació i la Constant de Velocitat d’una Reacció Química

Per a una certa reacció química, la constant de velocitat es duplica quan la temperatura augmenta de 260 K a 300 K. Calculeu: a) L’energia d’activació. b) La constant de velocitat a 350 K si a 298 K és \( 0{,}015 \, \text{mol}^{-2} \cdot \text{L}^2 \cdot \text{s}^{-1} \). (Dada: \( R = 8{,}31 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \))

a) Per calcular l’energia d’activació (\( E_a \)), utilitzem l’equació d’Arrhenius en forma logarítmica: \[ \ln \left( \frac{k_2}{k_1} \right) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} – \frac{1}{T_2} \right) \]Sabem que \( k_2 = 2 k_1 \) quan \( T_1 = 260 \, \text{K} \) i \( T_2 = 300 \, \text{K} \). Substituint: \[ \ln(2) = \frac{E_a}{8{,}31} \left( \frac{1}{260} – \frac{1}{300} \right) \]Calculem els termes: \[ \ln(2) \approx 0{,}693 \] \[ \frac{1}{260} – \frac{1}{300} = \frac{300 – 260}{260 \cdot 300} = \frac{40}{78000} = 5{,}128 \times 10^{-4} \]Substituint: \[ 0{,}693 = \frac{E_a}{8{,}31} \cdot 5{,}128 \times 10^{-4} \] \[ E_a = \frac{0{,}693 \cdot 8{,}31}{5{,}128 \times 10^{-4}} = 11223{,}8 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \] \[ E_a = 11{,}22 \, \text{kJ} \cdot \text{mol}^{-1} \]

b) Per calcular la constant de velocitat a 350 K (\( k_3 \)), utilitzem de nou l’equació d’Arrhenius: \[ \ln \left( \frac{k_3}{k_1} \right) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} – \frac{1}{T_3} \right) \]Sabem que \( k_1 = 0{,}015 \, \text{mol}^{-2} \cdot \text{L}^2 \cdot \text{s}^{-1} \) a \( T_1 = 298 \, \text{K} \), i \( T_3 = 350 \, \text{K} \). Utilitzem l’\( E_a \) calculat: \[ \frac{1}{298} – \frac{1}{350} = \frac{350 – 298}{298 \cdot 350} = \frac{52}{104300} = 4{,}986 \times 10^{-4} \]Substituint: \[ \ln \left( \frac{k_3}{0{,}015} \right) = \frac{11223{,}8}{8{,}31} \cdot 4{,}986 \times 10^{-4} \] \[ \ln \left( \frac{k_3}{0{,}015} \right) = 0{,}673 \] \[ \frac{k_3}{0{,}015} = e^{0{,}673} \approx 1{,}96 \] \[ k_3 = 0{,}015 \cdot 1{,}96 = 0{,}0294 \, \text{mol}^{-2} \cdot \text{L}^2 \cdot \text{s}^{-1} \].

Respostes finals:

a) L’energia d’activació és \( E_a = 11{,}22 \, \text{kJ} \cdot \text{mol}^{-1} \).

b) La constant de velocitat a 350 K és \( k = 0{,}0294 \, \text{mol}^{-2} \cdot \text{L}^2 \cdot \text{s}^{-1} \).