Càlcul de l’angle que formen dues rectes

Calcula l’angle que formen les rectes: $$r:\dfrac{x+2}{5}=\dfrac{y-1}{2}=z \quad \text{ i } \quad s:\left\{\begin{array}{l} x+y+2z=3 \\ x-y-z=1 \end{array} \right.$$

Primer hem de buscar un vector director de la recta $r$ i un altre de la recta $s$:

• Un vector director de $r$ és: $\vec{v_r}=(5,2,1)$
• Per trobar un vector director de $s$, escollim com a paràmetre$z$ i resolem el sistema d’equacions per Cramer obtenint: $$s: \left\{ \begin{array}{l} x=2-\dfrac{1}{2}k \\ y=1-\dfrac{3}{2}k \\z=k \end{array} \right.$$

i per tant un vector director de $s$ és: $\vec{v_s} = (-1,-3,2)$

Ara aplicant la fórmula del producte escalar: $$\begin{array}{rl}
\cos(\alpha)=&\dfrac{|u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3|}
{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}=
\dfrac{|5\cdot1+2\cdot3+1\cdot(-2)|}
{\sqrt{5^2+2^2+1^2}\sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}} \
=& \dfrac{9}{\sqrt{30}\sqrt{14}}=0.439 \end{array}$$

Per tant, $$\alpha=\arccos(0.439)=63,95^\circ$$