Càlcul de la Velocitat Terminal d’una Bola d’Acer en Aigua i Glicerina

Calculeu la velocitat final de caiguda (velocitat terminal) d’una bola d’acer de $1,00$ mm de diàmetre i $4$ mg de massa, en aigua a $25$ °C. Repetiu el càlcul per a glicerina, que té una densitat de $1,25$ g/cm$^3$. Les viscositats de l’aigua i la glicerina a $25$ °C i $1$ atm són $0,89$ cP i $954$ cP, respectivament.

Utilitzem la llei de Stokes per calcular la velocitat terminal d’una esfera en un fluid viscos:\[v = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho_s – \rho_f) g}{\eta}\]

Dades:

• Diàmetre de la bola: \( 1,00 \, \text{mm} \), radi \( r = 0,5 \, \text{mm} = 0,0005 \, \text{m} \).

• Massa de la bola: \( 4 \, \text{mg} = 4 \times 10^{-6} \, \text{kg} \).

• Volum de la bola: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 5,236 \times 10^{-10} \, \text{m}^3 \).

• Densitat de l’acer: \( \rho_s = \frac{m}{V} = \frac{4 \times 10^{-6}}{5,236 \times 10^{-10}} \approx 7641 \, \text{kg/m}^3 \).

• Densitat de l’aigua: \( \rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3 \).

• Densitat de la glicerina: \( \rho_f = 1,25 \, \text{g/cm}^3 = 1250 \, \text{kg/m}^3 \).

• Viscositat de l’aigua: \( \eta = 0,89 \, \text{cP} = 0,00089 \, \text{Pa·s} \).

• Viscositat de la glicerina: \( \eta = 954 \, \text{cP} = 0,954 \, \text{Pa·s} \).

• Acceleració gravitacional: \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \).

Càlcul per a l’aigua:\[v = \frac{2}{9} \frac{(0,0005)^2 (7641 – 1000) \cdot 9,81}{0,00089} \approx 4,065 \, \text{m/s}\] Velocitat terminal en aigua: \( 4,07 \, \text{m/s} \).

Càlcul per a la glicerina:\[v = \frac{2}{9} \frac{(0,0005)^2 (7641 – 1250) \cdot 9,81}{0,954} \approx 0,00365 \, \text{m/s} \] Velocitat terminal en glicerina: \( 0,00365 \, \text{m/s} \) (o \( 3,65 \, \text{mm/s} \)).

Resposta final:

• Velocitat terminal en aigua: \( 4,07 \, \text{m/s} \).

• Velocitat terminal en glicerina: \( 0,00365 \, \text{m/s} \) (o \( 3,65 \, \text{mm/s} \)).

Nota: La velocitat en aigua és elevada, cosa que podria indicar que el règim de Stokes no és completament aplicable (Re > 1). Per confirmar-ho, caldria calcular el nombre de Reynolds, però el problema assumeix la validesa de Stokes.