Càlcul de la Velocitat d’un Satèl·lit en l’Apogeu d’una Òrbita El·líptica

S’ha llançat un satèl·lit en una direcció paral·lela a la superfície de la Terra amb una velocitat de $36.900$ km/h des d’una altitud de $500$ km per situar-lo en un apogeu de $66.700$ km (mesurat des del centre de la Terra). Quina velocitat té el satèl·lit en aquesta posició? Dades: \( R_T = 6,4 \cdot 10^6 \, \text{m} \).

Pas 1: Convertim les dades a unitats del SI – Radi de la Terra: \( R_T = 6,4 \cdot 10^6 \, \text{m} \).

• Altitud del perigeu: 500 km = \( 5,0 \cdot 10^5 \, \text{m} \).

• Distància al perigeu des del centre de la Terra: \[r_p = R_T + \text{altitud} = 6,4 \cdot 10^6 + 5,0 \cdot 10^5 = 6,9 \cdot 10^6 \, \text{m}\]

• Distància a l’apogeu: 66.700 km = \( 6,67 \cdot 10^7 \, \text{m} \).

• Velocitat al perigeu: \[v_p = 36.900 \, \text{km/h} = 36.900 \cdot \frac{1000}{3600} = 10.250 \, \text{m/s}\]

Pas 2: Apliquem la conservació del moment angular. Com que el satèl·lit està sotmès a una força central, el moment angular es conserva. En el perigeu i l’apogeu, la velocitat és perpendicular al radi vector: \[r_p v_p = r_a v_a \implies v_a = \frac{r_p v_p}{r_a}\] Substituint: \[v_a = \frac{6,9 \cdot 10^6 \cdot 10.250}{6,67 \cdot 10^7}\] \[v_a \approx \frac{7,0725 \cdot 10^{10}}{6,67 \cdot 10^7} \approx 1.060,5 \, \text{m/s}\]

Resposta final: La velocitat del satèl·lit en l’apogeu és: \[v_a \approx 1,06 \cdot 10^3 \, \text{m/s}\]