Càlcul de la trajectòria d’un projectil

Es llança un objecte amb velocitat inicial $v_0 = 20 \, \text{m/s}$ i angle $45^\circ$ respecte l’horitzontal. Es demana trobar: (a) Temps de vol. (b) Abast màxim. (c) Alçada màxima. (d) Velocitat total un segon abans d’arribar al terra. (e) Equació de la trajectòria.

Dades inicials:

• Velocitat inicial: $v_0 = 20 \, \text{m/s}$.
• Angle de llançament: $\theta = 45^\circ$.
• Acceleració gravitacional: $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$.
• Components de la velocitat inicial:
  $$v_{0x} = v_0 \cos \theta = 20 \cdot \cos 45^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 14,14 \, \text{m/s},$$
  $$v_{0y} = v_0 \sin \theta = 20 \cdot \sin 45^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 14,14 \, \text{m/s}.$$
• Altura inicial: $y_0 = 0 \, \text{m}$ (llançat des del terra).

(a) Temps de vol

El temps de vol es calcula quan l’objecte torna a terra ($y = 0$). L’equació de la posició vertical és:
$$y = v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2.$$
Quan $y = 0$:
$$0 = 14,14 t – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2 \implies 0 = 14,14 t – 4,9 t^2 \implies t (14,14 – 4,9 t) = 0.$$
Solucions: $t = 0$ (inici) o $14,14 – 4,9 t = 0 \implies t = \frac{14,14}{4,9} \approx 2,88 \, \text{s}$.

Temps de vol: $\approx 2,88 \, \text{s}$.

(b) Abast màxim

L’abast màxim és la distància horitzontal quan $t = t_{\text{vol}}$. L’equació horitzontal és:
$$x = v_{0x} t.$$
Substituïm:
$$x_{\text{màx}} = 14,14 \cdot 2,88 \approx 40,72 \, \text{m}.$$

Abast màxim: $\approx 40,72 \, \text{m}$.

(c) Alçada màxima

L’altura màxima es produeix quan la velocitat vertical és zero ($v_y = 0$). Usem:
$$v_y = v_{0y} – g t = 0 \implies 14,14 – 9,8 t = 0 \implies t = \frac{14,14}{9,8} \approx 1,44 \, \text{s}.$$
La posició vertical en aquest temps és:
$$y_{\text{màx}} = v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2 = 14,14 \cdot 1,44 – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot (1,44)^2.$$
Calculem:
$$y_{\text{màx}} \approx 20,36 – 10,18 \approx 10,18 \, \text{m}.$$

Alçada màxima: $\approx 10,18 \, \text{m}$.

(d) Velocitat total un segon abans d’arribar al terra

El moment d’arribar a terra és $t = 2,88 \, \text{s}$, per tant, un segon abans és:
$$t = 2,88 – 1 = 1,88 \, \text{s}.$$

• Component horitzontal (constant):
  $$v_x = v_{0x} = 14,14 \, \text{m/s}.$$
• Component vertical:
  $$v_y = v_{0y} – g t = 14,14 – 9,8 \cdot 1,88 \approx 14,14 – 18,42 \approx -4,28 \, \text{m/s}.$$
• Velocitat total:
  $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(14,14)^2 + (-4,28)^2} \approx \sqrt{199,94 + 18,32} \approx \sqrt{218,26} \approx 14,77 \, \text{m/s}.$$

Velocitat total: $\approx 14,77 \, \text{m/s}$.

(e) Equació de la trajectòria

L’equació de la trajectòria relaciona $y$ amb $x$:
$$x = v_{0x} t \implies t = \frac{x}{v_{0x}} = \frac{x}{14,14}.$$
Substituïm a l’equació vertical:
$$y = v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2 = 14,14 \cdot \frac{x}{14,14} – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot \left( \frac{x}{14,14} \right)^2.$$
Simplifiquem:
$$y = x – \frac{4,9 x^2}{199,94} \approx x – 0,0245 x^2.$$
Com que $\tan 45^\circ = 1$ i $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, podem expressar-ho en forma general:
$$y = x \tan 45^\circ – \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 45^\circ} = x – \frac{9,8 x^2}{2 \cdot 20^2 \cdot \frac{1}{2}} = x – \frac{9,8 x^2}{400} = x – 0,0245 x^2.$$

Equació de la trajectòria: $y = x – 0,0245 x^2$.

Resposta final:

• Temps de vol: $\approx 2,88 \, \text{s}$.
• Abast màxim: $\approx 40,72 \, \text{m}$.
• Alçada màxima: $\approx 10,18 \, \text{m}$.
• Velocitat total 1 s abans d’arribar al terra: $\approx 14,77 \, \text{m/s}$.
• Equació de la trajectòria: $y = x – 0,0245 x^2$.