Càlcul de la median, quartils i percentils amb dades agrupades

Fórmules per a dades agrupades (taula de freqüències)

Suposem una taula de freqüències amb:

• Classes: intervals $[L_i, U_i)$ (on $L_i$ = límit inferior, $U_i$ = límit superior)
• $f_i$: freqüència absoluta de la classe $i$
• $F_i$: freqüència acumulada fins a la classe $i$ (incloent-la)
• $N = \sum f_i$: nombre total d’observacions
• $h_i = U_i – L_i$: amplitud de la classe $i$
• $c_i$: marca de classe (punt mitjà) = $\frac{L_i + U_i}{2}$

1. Mediana ((Me)) – percentil 50

La classe mediana és la primera classe on $F_i \ge \frac{N}{2}$.

$$\boxed{Me = L_m + h_m \cdot \frac{\frac{N}{2} – F_{m-1}}{f_m}}$$

• $L_m$: límit inferior de la classe mediana
• $h_m$: amplitud de la classe mediana
• $f_m$: freqüència de la classe mediana
• $F_{m-1}$: freqüència acumulada abans de la classe mediana

2. Quartils

• 1r Quartil ($Q_1$) – percentil 25 → $\frac{N}{4}$
• 3r Quartil ($Q_3$) – percentil 75 → $\frac{3N}{4}$

Fórmula general per al k-quartil:

$$\boxed{Q_k = L_q + h_q \cdot \frac{\frac{kN}{4} – F_{q-1}}{f_q}}$$

(on la classe $q$ és la primera amb $F_q \ge \frac{kN}{4})$

3. Percentils (en general, $P_p$ per al percentil $p$)

La posició és $\frac{pN}{100}$.

$$\boxed{P_p = L_p + h_p \cdot \frac{\frac{pN}{100} – F_{p-1}}{f_p}}$$

• Classe percentílica: primera amb $F_p \ge \frac{pN}{100}$
• Resta de components anàlegs als anteriors

Resum en taula

Nota: Si la posició cau exactament al límit d’una classe ($F_{i-1} = \text{posició}$), alguns autors prenen $P_p = L_i$ (o $U_{i-1}$). La fórmula anterior assumeix interpolació lineal dins la classe, que és l’estàndard més habitual.