LEMNISCATA
Matemàtiques
La matriu inicial és:
$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$
i la matriu augmentada amb la identitat és:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 3 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
4 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right)$$
L’element $a_{11}$ ja és 1, així que no cal modificar la primera fila.
$$\text{Fila 3} = \text{Fila 3} – 4 \cdot \text{Fila 1}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 3 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -10 & -20 & -4 & 0 & 1 \
\end{array} \right)$$
Dividim tota la segona fila per 2 per fer que l’element ((2,2)) sigui 1:
$$\text{Fila 2} = \frac{\text{Fila 2}}{2}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 3 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -10 & -20 & -4 & 0 & 1 \
\end{array} \right)$$
$$\text{Fila 1} = \text{Fila 1} – 3 \cdot \text{Fila 2}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 2 & 1 & -\frac{3}{2} & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -10 & -20 & -4 & 0 & 1 \
\end{array} \right)$$
$$\text{Fila 3} = \text{Fila 3} + 10 \cdot \text{Fila 2}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 2 & 1 & -\frac{3}{2} & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & -10 & -4 & 5 & 1 \
\end{array} \right)$$
Dividim tota la tercera fila per (-10) per fer que l’element $a_{33}$ sigui 1:
$$\text{Fila 3} = \frac{\text{Fila 3}}{-10}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 2 & 1 & -\frac{3}{2} & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \
\end{array} \right)$$
$$\text{Fila 1} = \text{Fila 1} – 2 \cdot \text{Fila 3}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{5} \\
0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \
\end{array} \right)$$
$$\text{Fila 2} = \text{Fila 2} – 1 \cdot \text{Fila 3}$$
Resultat final:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{5} \\
0 & 1 & 0 & -\frac{2}{5} & 1 & \frac{1}{10} \\
0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \
\end{array} \right)$$
La part dreta de la matriu augmentada és la matriu inversa (\boldsymbol{A}^{-1}):
$$\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{5} & 1 & \frac{1}{10} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \end{pmatrix}$$