Càlcul de la matriu inversa $A^{-1}$ a través del Mètode de Gauss-Jordan

Càlcul de la matriu inversa $A^{-1}$ a través del Mètode de Gauss-Jordan
29 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Calculeu la matriu inversa de La matriu inicial és: $$
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ amb el mètode de Gauss-Jordan

La matriu inicial és:
$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$
i la matriu augmentada amb la identitat és:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 3 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
4 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right)$$

Pas 1: Convertir l’element $a_{11}$ en 1

L’element $a_{11}$ ja és 1, així que no cal modificar la primera fila.

Pas 2: Anul·lar els altres elements de la columna 1

  1. Per la fila 2: L’element $a_{21}$ ja és 0, així que no cal fer res.
  2. Per la fila 3: Multipliquem la primera fila per (-4) i la sumem a la tercera fila per convertir el $a_{31}$ en 0:

$$\text{Fila 3} = \text{Fila 3} – 4 \cdot \text{Fila 1}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 3 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -10 & -20 & -4 & 0 & 1 \
\end{array} \right)$$

Pas 3: Convertir l’element $a_{22}$ en 1

Dividim tota la segona fila per 2 per fer que l’element ((2,2)) sigui 1:

$$\text{Fila 2} = \frac{\text{Fila 2}}{2}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 3 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -10 & -20 & -4 & 0 & 1 \
\end{array} \right)$$

Pas 4: Anul·lar els altres elements de la columna 2

  1. Per la fila 1: Multipliquem la segona fila per (-3) i la sumem a la primera fila per convertir el $a_{12}$ en 0:

$$\text{Fila 1} = \text{Fila 1} – 3 \cdot \text{Fila 2}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 2 & 1 & -\frac{3}{2} & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -10 & -20 & -4 & 0 & 1 \
\end{array} \right)$$

  1. Per la fila 3: Multipliquem la segona fila per (10) i la sumem a la tercera fila per convertir el $a_{32}$ en 0:

$$\text{Fila 3} = \text{Fila 3} + 10 \cdot \text{Fila 2}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 2 & 1 & -\frac{3}{2} & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & -10 & -4 & 5 & 1 \
\end{array} \right)$$

Pas 5: Convertir l’element $a_{33}$ en 1

Dividim tota la tercera fila per (-10) per fer que l’element $a_{33}$ sigui 1:

$$\text{Fila 3} = \frac{\text{Fila 3}}{-10}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 2 & 1 & -\frac{3}{2} & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \
\end{array} \right)$$

Pas 6: Anul·lar els altres elements de la columna 3

  1. Per la fila 1: Multipliquem la tercera fila per (-2) i la sumem a la primera fila per convertir el $a_{13}$ en 0:

$$\text{Fila 1} = \text{Fila 1} – 2 \cdot \text{Fila 3}$$
Resultat:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{5} \\
0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \
\end{array} \right)$$

  1. Per la fila 2: Multipliquem la tercera fila per (-1) i la sumem a la segona fila per convertir el $a_{23}$en 0:

$$\text{Fila 2} = \text{Fila 2} – 1 \cdot \text{Fila 3}$$
Resultat final:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{5} \\
0 & 1 & 0 & -\frac{2}{5} & 1 & \frac{1}{10} \\
0 & 0 & 1 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \
\end{array} \right)$$

Resultat

La part dreta de la matriu augmentada és la matriu inversa (\boldsymbol{A}^{-1}):
$$\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{5} & 1 & \frac{1}{10} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \end{pmatrix}$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *