Càlcul de la freqüència i el nombre d’ones d’una ona electromagnètica

Una ona electromagnètica té, en el buit, una longitud d’ona de $5 \times 10^{-7}$ m. a) Determineu la freqüència i el nombre d’ona. b) Si aquesta ona entra en un determinat medi, la seva velocitat es redueix a $\frac{3c}{4}$. Determineu l’índex de refracció del medi i la freqüència i la longitud d’ona en aquest medi.

On $c = 3 \times 10^8$ m/s.

a) Una ona electromagnètica (o.e.m) consisteix en la propagació de pertorbacions elèctriques i magnètiques a través d’un medi.

La freqüència ($f$, nombre d’oscil·lacions per segon) i la longitud d’ona ($\lambda$, distància més curta entre dos punts en fase) estan relacionades mitjançant l’expressió:
$$\lambda = \frac{v}{f}$$
on $v$ és la velocitat de propagació de la o.e.m. en el medi. En aquest cas, en propagar-se en el buit, aquesta velocitat és igual a $c = 3 \times 10^8$ m/s.

Així, podem calcular la freqüència:
$$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{5 \times 10^{-7} \text{ m}} = 6 \times 10^{14} \text{ Hz}$$

El nombre d’ona s’obté a partir de la longitud d’ona:
$$k = \frac{2\pi}{\lambda} \quad \text{(rad/m)}$$

b) En passar la ona a propagar-se per un nou medi, es produeix el fenomen de refracció. En la nova ona que es propaga pel segon medi, es mantenen aquelles característiques que depenen exclusivament del focus emissor.

L’índex de refracció d’un medi ($n$) ens indica quantes vegades és més gran la velocitat de la llum en el buit ($c$) que en aquest medi ($v$):
$$n = \frac{c}{v}$$

Així:
$$n = \frac{c}{v} = \frac{3c}{4c} = \frac{4}{3} \approx 1,333$$

Com s’ha dit, la freqüència de la ona no canvia en canviar de medi, per la qual cosa:
$$f = 6 \times 10^{14} \text{ Hz}$$

La longitud d’ona en el segon medi es calcula tenint en compte que la velocitat ara és $\frac{3c}{4} = 2,25 \times 10^8$ m/s:
$$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{2,25 \times 10^8 \text{ m/s}}{6 \times 10^{14} \text{ s}^{-1}} = 3,75 \times 10^{-7} \text{ m} = 375 \text{ nm}$$