Càlcul de la distància recorreguda per l’esquiador fins a aturar-se

Un esquiador de $80$ kg es deixa lliscar des de la part superior d’una ladera de $60$ m d’altura que forma un angle de $37$º amb l’horitzontal. En arribar a la base, continua lliscant sobre una pista horitzontal. Si el coeficient de fricció dinàmic entre els esquís i la neu és \( \mu_d = 0,2 \), i l’esquiador no es propulsa durant el recorregut, determinar la distància que recorre sobre la pista horitzontal fins a aturar-se.

Pas 1: Dades inicials

• Massa de l’esquiador: \( m = 80 \, \text{kg} \)

• Alçada de la ladera: \( h = 60 \, \text{m} \)

• Angle de la ladera: \( \theta = 37^\circ \)

• Coeficient de fricció dinàmic: \( \mu_d = 0,2 \)

• Acceleració de la gravetat: \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \)

Pas 2: Calcular la longitud de la ladera. La ladera forma un triangle rectangle amb l’alçada (\( h = 60 \, \text{m} \)) com a catet oposat i l’angle \( \theta = 37^\circ \). La longitud de la ladera (hipotenusa \( L \)) es calcula amb la relació trigonomètrica:\[\sin(37^\circ) = \frac{h}{L}\]Sabem que \( \sin(37^\circ) \approx 0,6 \), per tant:\[L = \frac{h}{\sin(37^\circ)} = \frac{60}{0,6} = 100 \, \text{m}\]

Pas 3: Energia potencial inicial i treball de la fricció a la ladera. L’esquiador comença amb energia potencial gravitatòria a la part superior de la ladera:\[E_p = m \cdot g \cdot h = 80 \cdot 9,81 \cdot 60 = 47088 \, \text{J}\]Durant el descens, la força de fricció actua al llarg de la ladera. La força normal a la ladera és:\[F_N = m \cdot g \cdot \cos(37^\circ)\]Sabem que \( \cos(37^\circ) \approx 0,8 \), per tant:\[F_N = 80 \cdot 9,81 \cdot 0,8 = 627,84 \, \text{N}\]La força de fricció és:\[F_{\text{fricció}} = \mu_d \cdot F_N = 0,2 \cdot 627,84 = 125,57 \, \text{N}\]El treball realitzat per la fricció (que és negatiu perquè s’oposa al moviment) al llarg de la ladera (\( L = 100 \, \text{m} \)) és:\[W_{\text{fricció, ladera}} = – F_{\text{fricció}} \cdot L = – 125,57 \cdot 100 = -12557 \, \text{J}\]

Pas 4: Energia cinètica a la base de la ladera. Segons el principi de conservació de l’energia, l’energia potencial inicial es transforma en energia cinètica a la base de la ladera, però es perd energia a causa de la fricció:\[E_p + W_{\text{fricció, ladera}} = E_c\]\[E_c = 47088 – 12557 = 34531 \, \text{J}\]L’energia cinètica és:\[E_c = \frac{1}{2} m v^2\]Aïllem la velocitat \( v \):\[34531 = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot v^2\]\[v^2 = \frac{34531 \cdot 2}{80} = 863,28\]\[v = \sqrt{863,28} \approx 29,38 \, \text{m/s}\]Aquesta és la velocitat de l’esquiador quan arriba a la pista horitzontal.

Pas 5: Distància recorreguda a la pista horitzontal fins a aturar-se. A la pista horitzontal, l’única força que actua en la direcció del moviment és la fricció. La força normal a la pista horitzontal és:\[F_N = m \cdot g = 80 \cdot 9,81 = 784,8 \, \text{N}\]La força de fricció és:\[F_{\text{fricció}} = \mu_d \cdot F_N = 0,2 \cdot 784,8 = 156,96 \, \text{N}\]L’acceleració (desacceleració) causada per la fricció és:\[a = -\frac{F_{\text{fricció}}}{m} = -\frac{156,96}{80} = -1,962 \, \text{m/s}^2\]L’esquiador s’atura quan la seva velocitat arriba a zero. Utilitzem l’equació de la cinemàtica:\[v_f^2 = v_i^2 + 2 \cdot a \cdot d\]On \( v_f = 0 \), \( v_i = 29,38 \, \text{m/s} \), i \( a = -1,962 \, \text{m/s}^2 \). Aïllem \( d \):\[0 = (29,38)^2 + 2 \cdot (-1,962) \cdot d\]\[0 = 863,28 – 3,924 \cdot d\]\[d = \frac{863,28}{3,924} \approx 220 \, \text{m}\]

Resposta final. La distància que l’esquiador recorre sobre la pista horitzontal fins a aturar-se és d’aproximadament 220 m.