Càlcul de la derivada de la funció inversa en un punt

Es considera la funció $y = f(x)$ definida implícitament per l’equació $$2 e^{a x y} + y^2 e^{2 a x y} – 3 = 0, \quad \text{amb } a \neq 0.$$ Sigui $g(y)$ la funció inversa de $f(x)$, és a dir, $g(f(x)) = x$. Es demana calcular la derivada $g'(1)$.

Recordem que, per a funcions inverses,
$$g'(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{on } y = f(x).$$
Per tant, hem de trobar $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ en el punt on $y = 1$.

1. Derivació implícita

A partir de l’equació donada:
$$2 e^{a x y} + y^2 e^{2 a x y} – 3 = 0,$$
derivem respecte a $x$:
$$\frac{d}{dx}(2 e^{a x y}) + \frac{d}{dx}(y^2 e^{2 a x y}) = 0.$$

Derivem cada terme:

$$\frac{d}{dx}(2 e^{a x y}) = 2 e^{a x y} \cdot a (y + x y’),$$
$$\frac{d}{dx}(y^2 e^{2 a x y}) = (2y y’) e^{2 a x y} + y^2 e^{2 a x y} \cdot 2a (y + x y’).$$

Sumem i igualem a zero:
$$2 a e^{a x y}(y + x y’) + 2 y y’ e^{2 a x y} + 2 a y^2 e^{2 a x y}(y + x y’) = 0.$$

2. Agrupem els termes amb $y’$

$$2 a e^{a x y} y + 2 a y^2 e^{2 a x y} y$$

$$2 a e^{a x y} x + 2 y e^{2 a x y} + 2 a y^2 e^{2 a x y} x] y’ = 0.$$

Aïllem $y’$:

$$y’ = – \frac{2 a e^{a x y} y (1 + y e^{a x y})}
{2 a e^{a x y} x (1 + y e^{a x y}) + 2 y e^{2 a x y}}.$$

Simplificant:
$$\boxed{y’ = – \frac{a y (1 + y e^{a x y})}{a x (1 + y e^{a x y}) + y e^{a x y}}.}$$

3. Determinem el punt on $y = 1$

Substituïm $y = 1$ a l’equació original:
$$2 e^{a x} + e^{2 a x} – 3 = 0.$$
Fem el canvi $t = e^{a x} > 0$:
$$t^2 + 2t – 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad (t + 3)(t – 1) = 0.$$
Com que $t > 0$, tenim $t = 1 \Rightarrow e^{a x} = 1 \Rightarrow x = 0.$

4. Avaluem $f'(x) ) en ( (x, y) = (0, 1)$

Substituïm a l’expressió de $y’$:

$$y’ = – \frac{a y (1 + y e^{a x y})}{a x (1 + y e^{a x y}) + y e^{a x y}}.$$

Per $x = 0, y = 1, e^{a x y} = 1$:
$$y’ = – \frac{a (1)(1 + 1)}{a (0)(1 + 1) + 1 \cdot 1} = – \frac{2a}{1} = -2a.$$

Així doncs,
$$f'(0) = -2a.$$

5. Derivada de la funció inversa

Com que $g'(1) = \dfrac{1}{f'(0)}$, obtenim:
$$\boxed{g'(1) = -\frac{1}{2a}}.$$

Resposta final

$$\boxed{g'(1) = -\dfrac{1}{2a}}$$