Càlcul de la corba amb pendent donada i condició inicial

Trobar la corba que passa pel punt $(0, -2)$ i la tangent en tot punt té pendent igual a l’ordenada d’aquest punt augmentada en tres unitats.

A partir de la interpretació geomètrica de la derivada primera, obtenim l’equació diferencial de la família de corbes que satisfan les condicions del problema:\[\frac{dy}{dx} = y + 3.\tag{1}\label{eq:dif}\]Separant variables i integrant obtenim la solució general\[y = Ce^x – 3,\tag{2}\label{eq:sol}\]Per tant, la corba buscada ha de passar pel punt (0, -2), és a dir \( y|_{x=0} = -2 \), llavors de (\ref{eq:sol}) per a \( x = 0 \) obtenim \( -2 = C – 3 \), d’on deduïm que \( C = 1 \). La corba buscada és\[y = e^x – 3.\tag{3}\label{eq:sol2}\]