Càlcul de la Concentració de Sal en un Dipòsit amb Flux Constant

Un dipòsit conté \( S_0 \) lliures de sal dissolta en 200 galons d’aigua. Començant en el temps \( t = 0 \), aigua que conté \( \frac{1}{2} \) lliures de sal per galó entra al dipòsit a un ritme de 4 galons per minut, i la solució ben barrejada surt del dipòsit al mateix ritme. Troba la concentració de sal al dipòsit en qualsevol temps \( t > 0 \).

Sigui \( S(t) \) la quantitat de sal al dipòsit en el temps \( t \). Llavors, \( S'(t) \), que és el ritme de canvi de sal al dipòsit en el temps \( t \), ha d’igualar el ritme al qual la sal entra al dipòsit menys el ritme al qual surt del dipòsit. Òbviament, el ritme al qual la sal entra al dipòsit és\[\frac{1}{2} \text{ lb/gal} \times 4 \text{ gal/min} = 2 \text{ lb/min}.\]Després d’una breu reflexió, també és evident que el ritme al qual la sal surt del dipòsit és\[4 \text{ gal/min} \times \frac{S(t)}{200}.\]Per tant,\[S'(t) = 2 – \frac{S(t)}{50}, \quad S(0) = S_0,\]i això implica que\[S(t) = S_0 e^{-0.02t} + 100 (1 – e^{-0.02t}).\]D’aquí, la concentració \( c(t) \) de sal al dipòsit ve donada per\[c(t) = \frac{S(t)}{200} = \frac{S_0}{200} e^{-0.02t} + \frac{1}{2} (1 – e^{-0.02t}).\]