Càlcul angle entre dos plans

Considera els plans $x + y + z = -3$ i $x + y – z = 3$ i la recta $r: \frac{x – 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{3}$.

a) Comprova que els dos plans es tallen i calcula l’angle que formen.

b) Estudia la posició relativa de la recta rr amb el pla x+y−z=3x + y – z = 3.

c) Determina els punts de la recta rr que equidisten de tots dos plans.

Considerem els plans:
\begin{cases}
\pi_1: x + y + z = -3 \\ \pi_2: x + y – z = 3
\end{cases}

a) Intersecció dels plans i càlcul de l’angle

Els vectors normals als plans són:
\begin{equation}
\mathbf{n}_1 = (1,1,1), \quad \mathbf{n}_2 = (1,1,-1).
\end{equation}

El producte vectorial dona la direcció de la recta d’intersecció:
\begin{equation}
\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}-\mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}+\mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}\end{equation}

L’angle entre els plans és:
\begin{equation}
\cos \theta = \frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{|\mathbf{n}_1| |\mathbf{n}_2|} = \frac{1}{3},
\end{equation}

\begin{equation}
\theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{3}\right) = 70.528^{\circ}
\end{equation}

b) Posició relativa de la recta r i el pla $\pi_2$

La recta $r$ té equació paramètrica:
\begin{cases}
x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 3t.
\end{cases}

Substituint en el pla $\pi_2$:
\begin{equation}
(1 + 2t) + (-1 + t) – (3t) = 3,
\end{equation}

\begin{equation}
0 = 3.
\end{equation}

Com que l’equació és inconsistent, la recta és paral·lela al pla.

c) Punts de la recta equidistants dels dos plans

La distància d’un punt $P(x,y,z)$ a un pla $Ax + By + Cz + D = 0$ és:
\begin{equation}
d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
\end{equation}

Distàncies als plans:
\begin{cases}
d_1 = \frac{|3 + 6t|}{\sqrt{3}} \\ d_2 = \sqrt{3}.
\end{cases}

Igualem:
\begin{equation}
\frac{|3 + 6t|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.
\end{equation}

Multiplicant per $\sqrt{3}$:
\begin{equation}
|3 + 6t| = 3.
\end{equation}

Resolem:
\begin{equation}
t = 0 \quad \text{o} \quad t = -1.
\end{equation}

Els punts buscats són:
\begin{equation}
P_1 = (1, -1, 0), \quad P_2 = (-1, -2, -3).
\end{equation}