Cable d’acer. Mòdul d’elasticitat

Cable d’acer. Mòdul d’elasticitat
10 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Tecnologia Industrial Oscar Alex Fernandez Mora

Hi ha un cable d’acer de $12$ m de longitud i $80$ mm$^2$ de secció. En sotmetre’l a una càrrega axial de $100$ kN, arriba a mesurar $12.078$ m. Calculeu: a) La deformació unitària $\varepsilon$ i l’esforç unitari $\sigma$ a GPa. b) El mòdul d’elasticitat $E$ de l’acer utilitzat a GPa. c) La força en kN que cal aplicar a un cable idèntic, per aconseguir un allargament de $35$ mm.

Dades proporcionades:

  • Longitud original del cable: $L_0 = 12\,\text{m}$.
  • Secció transversal del cable: $A = 80\,\text{mm}^2 = 80 \times 10^{-6}\,\text{m}^2$.
  • Càrrega axial aplicada: $F = 100\,\text{kN} = 100,000\,\text{N}$.
  • Longitud final del cable: $L_f = 12.078\,\text{m} ) (allargament de ( 0.078\,\text{m}$.

Part a) Càlcul de la deformació unitaria $\epsilon$ i l’esforç unitarí $\sigma$

Pas 1: Deformació unitaria $\epsilon$

La deformació unitaria es calcula com:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

on:

  • $\Delta L = L_f – L_0 = 12.078\,\text{m} – 12\,\text{m} = 0.078\,\text{m}$ és l’allargament del cable.

Per tant:

$$\epsilon = \frac{0.078}{12} = 6.5 \times 10^{-3}$$

Pas 2: Esforç unitarí $\sigma$

L’esforç unitarí $\sigma$ es calcula com:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

on:

  • $F = 100,000\,\text{N}$ és la càrrega axial,
  • $A = 80 \times 10^{-6}\,\text{m}^2$ és l’àrea de la secció transversal.

Substituïm els valors:

$$\sigma = \frac{100,000}{80 \times 10^{-6}} = 1.25 \times 10^9\,\text{Pa} = 1.25\,\text{GPa}$$

Part b) Càlcul del mòdul d’elasticitat $E$ en GPa

El mòdul d’elasticitat s’obté utilitzant la llei de Hooke:

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$

Substituïm els valors:

$$E = \frac{1.25\,\text{GPa}}{6.5 \times 10^{-3}} = 192.31\,\text{GPa}$$

Part c) Càlcul de la força $F$ necessària per obtenir un allargament de $35$ mm

En aquest cas, l’allargament desitjat és $\Delta L = 35\,\text{mm} = 0.035\,\text{m}$. Sabem que la relació entre l’esforç $\sigma$, la força aplicada $F$ i la deformació unitaria $\epsilon$ es manté constant, ja que el mòdul d’elasticitat no canvia.

Pas 1: Càlcul de la deformació unitaria $\epsilon$ corresponent al nou allargament

La nova deformació unitaria és:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{0.035}{12} = 2.917 \times 10^{-3}$$

Pas 2: Càlcul de l’esforç necessari $\sigma$ amb aquesta deformació unitaria

Utilitzant el mòdul d’elasticitat calculat anteriorment, calculem el nou esforç:

$$\sigma = E \times \epsilon = 192.31\,\text{GPa} \times 2.917 \times 10^{-3} = 0.561 \times 10^9\,\text{Pa} = 0.561\,\text{GPa}$$

Pas 3: Càlcul de la nova força $F$

Finalment, calculem la força que provoca aquest esforç:

$$F = \sigma \times A = 0.561 \times 10^9\,\text{Pa} \times 80 \times 10^{-6}\,\text{m}^2 = 44,880\,\text{N} = 44.88\,\text{kN}$$

Resultats finals:

  1. Deformació unitaria $\epsilon$: $6.5 \times 10^{-3}$.
  2. Esforç unitarí $\sigma$: $1.25$ GPa.
  3. Mòdul d’elasticitat $E$: $192.31$ GPa.
  4. Força necessària per a un allargament de $35$ mm: $44.88$ kN.
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *