LEMNISCATA
Matemàtiques
Hi ha un cable d’acer de $12$ m de longitud i $80$ mm$^2$ de secció. En sotmetre’l a una càrrega axial de $100$ kN, arriba a mesurar $12.078$ m. Calculeu: a) La deformació unitària $\varepsilon$ i l’esforç unitari $\sigma$ a GPa. b) El mòdul d’elasticitat $E$ de l’acer utilitzat a GPa. c) La força en kN que cal aplicar a un cable idèntic, per aconseguir un allargament de $35$ mm.
La deformació unitaria es calcula com:
$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$
on:
Per tant:
$$\epsilon = \frac{0.078}{12} = 6.5 \times 10^{-3}$$
L’esforç unitarí $\sigma$ es calcula com:
$$\sigma = \frac{F}{A}$$
on:
Substituïm els valors:
$$\sigma = \frac{100,000}{80 \times 10^{-6}} = 1.25 \times 10^9\,\text{Pa} = 1.25\,\text{GPa}$$
El mòdul d’elasticitat s’obté utilitzant la llei de Hooke:
$$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$
Substituïm els valors:
$$E = \frac{1.25\,\text{GPa}}{6.5 \times 10^{-3}} = 192.31\,\text{GPa}$$
En aquest cas, l’allargament desitjat és $\Delta L = 35\,\text{mm} = 0.035\,\text{m}$. Sabem que la relació entre l’esforç $\sigma$, la força aplicada $F$ i la deformació unitaria $\epsilon$ es manté constant, ja que el mòdul d’elasticitat no canvia.
La nova deformació unitaria és:
$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{0.035}{12} = 2.917 \times 10^{-3}$$
Utilitzant el mòdul d’elasticitat calculat anteriorment, calculem el nou esforç:
$$\sigma = E \times \epsilon = 192.31\,\text{GPa} \times 2.917 \times 10^{-3} = 0.561 \times 10^9\,\text{Pa} = 0.561\,\text{GPa}$$
Finalment, calculem la força que provoca aquest esforç:
$$F = \sigma \times A = 0.561 \times 10^9\,\text{Pa} \times 80 \times 10^{-6}\,\text{m}^2 = 44,880\,\text{N} = 44.88\,\text{kN}$$