Bolcarà el frigorífic?

Una caixa que conté un frigorífic té una massa total de 300 kg i té forma de paral·lelepípede rectangular de 2 m d’alt per 0,8 m x 0,8 m de base. El coeficient de fregament entre la caixa i el terra val 0,30. Si volem arrossegar-la sobre el terra mitjançant l’aplicació d’una força horitzontal, quina ha de ser la magnitud de la força? A quina altura màxima sobre el terra podem aplicar-la sense perill de bolcar?

Anem a resoldre aquest problema pas a pas. Tenim una caixa amb un frigorífic de massa total \( m = 300 \, \text{kg} \), amb forma de paral·lelepípede rectangular de base \( 0,8 \, \text{m} \times 0,8 \, \text{m} \) i alçada \( 2 \, \text{m} \). El coeficient de fregament entre la caixa i el terra és \( \mu = 0,30 \). Volem trobar:

1. La magnitud de la força horitzontal necessària per arrossegar la caixa.

2. L’alçada màxima sobre el terra on es pot aplicar aquesta força sense que la caixa bolqui.

1. Magnitud de la força horitzontal per arrossegar la caixa. La caixa està en contacte amb el terra, i per moure-la hem de superar la força de fregament estàtic màxim. La força de fregament \( F_{\text{freg}} \) ve donada per:\[F_{\text{freg}} = \mu N\]On \( N \) és la força normal. Com que la caixa està sobre una superfície horitzontal i no hi ha forces verticals addicionals (només el pes i la normal), la força normal és igual al pes de la caixa:\[N = m g\]Amb \( m = 300 \, \text{kg} \) i \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \):\[N = 300 \cdot 9,81 = 2943 \, \text{N}\]Ara calculem la força de fregament:\[F_{\text{freg}} = \mu N = 0,30 \cdot 2943 = 882,9 \, \text{N}\]Per tant, la força horitzontal mínima necessària per començar a moure la caixa (superant el fregament estàtic) és:\[F = F_{\text{freg}} = 882,9 \, \text{N}\]

2. Alçada màxima per aplicar la força sense bolcar. La caixa pot bolcar si la força horitzontal \( F \) es aplica a una alçada \( h \) tal que el moment de la força respecte a la vora inferior de la base (on la caixa pivotaria) supera el moment estabilitzador del pes. Analitzem l’equilibri de moments.

Forces i punts clau:

• El pes de la caixa actua al centre geomètric, a una alçada de \( 1 \, \text{m} \) (meitat de l’alçada de \( 2 \, \text{m} \)) i al centre de la base (\( 0,4 \, \text{m} \) des de cada vora, ja que la base és de \( 0,8 \, \text{m} \)).

• La força horitzontal \( F = 882,9 \, \text{N} \) s’aplica a una alçada \( h \) sobre el terra.

• La força normal \( N \) i la força de fregament actuen a la base de la caixa (al terra, \( h = 0 \)).

Condició de no bolcar:La caixa bolcarà al voltant de la vora inferior de la base (suposem que la força \( F \) s’aplica en la direcció que fa pivotar la caixa sobre la vora dreta de la base). Prenem moments respecte a aquesta vora (punt de pivotament):

• Moment del pes (estabilitzador): El pes \( mg = 2943 \, \text{N} \) actua al centre de la base, a una distància de \( 0,4 \, \text{m} \) de la vora dreta. Aquest moment és en sentit antihorari (evita el bolcament): \[ M_{\text{pes}} = mg \cdot 0,4 = 2943 \cdot 0,4 = 1177,2 \, \text{N·m} \]

• Moment de la força \( F \) (que provoca bolcament): La força \( F \) actua a una alçada \( h \) i genera un moment en sentit horari (afavoreix el bolcament): \[ M_F = F \cdot h = 882,9 \cdot h \, \text{N·m} \]

Condició límit de bolcament:La caixa comença a bolcar quan els moments s’equilibren (just abans de bolcar, quan la normal està a la vora i no al centre):\[M_{\text{pes}} = M_F\]\[1177,2 = 882,9 \cdot h\]Aïllem \( h \):\[h = \frac{1177,2}{882,9} \approx 1,333 \, \text{m}\]Aquesta és l’alçada màxima \( h \) a la qual podem aplicar la força sense que la caixa bolqui. Si \( h > 1,333 \, \text{m} \), la caixa bolcarà.

Resultats finals:

1. La magnitud de la força horitzontal necessària és: \[ F = 882,9 \, \text{N} \]

2. L’alçada màxima sobre el terra on es pot aplicar aquesta força sense bolcar és: \[ h_{\text{màx}} = 1,333 \, \text{m} \]