LEMNISCATA
Matemàtiques
Według statystyk Narodowego Instytutu Statystycznego prawdopodobieństwo, że mężczyzna będzie bezrobotny, wynosi $12\%$, podczas gdy dla kobiet wynosi ono $16\%$. Prawdopodobieństwo, że osoba będzie mężczyzną, wynosi $64\%$, a że będzie kobietą – $36\%$.
a) (0,75 punktu) Połączyliśmy się w mediach społecznościowych z jakąś osobą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to kobieta i że jest bezrobotna?
b) (0,75 punktu) Jeśli osoba została wybrana losowo, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest bezrobotna?
c) (0,5 punktu) Połączyliśmy się w mediach społecznościowych z osobą, która przyznała, że jest bezrobotna. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to kobieta?
Notatka informacyjna: powyższe statystyki (i eksperymenty) dotyczą osób zdolnych do pracy.
Rozwiązanie:
Dane:
Aby znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba jest kobietą i jednocześnie jest bezrobotna $P(K \cap B)$, użyjemy wzoru na prawdopodobieństwo zdarzeń zależnych:
$$P(K \cap B) = P(B \mid K) \times P(K)$$
Podstawiamy wartości:
$$P(K \cap B) = 0,16 \times 0,36 = 0,0576$$
Prawdopodobieństwo, że osoba jest kobietą i jest bezrobotna, wynosi więc $0,0576$ (czyli 5,76%).
Aby znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba jest bezrobotna $$P(B)$$, użyjemy reguły całkowitego prawdopodobieństwa:
$$P(B) = P(B \mid M) \times P(M) + P(B \mid K) \times P(K)$$
Podstawiamy wartości:
$$P(B) = (0,12 \times 0,64) + (0,16 \times 0,36)$$
Obliczamy poszczególne składniki:
$$P(B \mid M) \times P(M) = 0,12 \times 0,64 = 0,0768$$
$$P(B \mid K) \times P(K) = 0,16 \times 0,36 = 0,0576$$
Dodajemy te wartości:
$$P(B) = 0,0768 + 0,0576 = 0,1344$$
Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest bezrobotna, wynosi więc $0,1344$ (czyli 13,44%).
Aby znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba jest kobietą, jeśli wiemy, że jest bezrobotna $P(K \mid B)$, użyjemy wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:
$$P(K \mid B) = \frac{P(K \cap B)}{P(B)}$$
Podstawiamy wartości:
$$P(K \mid B) = \frac{0,0576}{0,1344} \approx 0,4286$$
Prawdopodobieństwo, że osoba jest kobietą, jeśli wiemy, że jest bezrobotna, wynosi więc $0,4286$ (czyli $42,86\%$).