Aplicació del teorema del cosinus

Resol el triangle en què coneixem $a=6$ cm, $b=8$ cm i $\hat{C}=75^\circ$

Primer calculem el costat $c$ (davant de l’angle $C$) amb la \textbf{llei dels cosinus}:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C \]

\[ c^2 = 6^2 + 8^2 – 2\cdot6\cdot8\cdot\cos 75^\circ \]

Sabem que $\cos 75^\circ = \cos(45^\circ+30^\circ) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \approx 0,258819$

\[ c^2 = 36 + 64 – 96 \cdot 0,258819 \approx 100 – 24,8466 = 75,1534 \]

\[ c = \sqrt{75,1534} \approx \boxed{8,67 cm} \]

Ara calculem l’angle $A$ amb la $\textbf{llei dels sinus}$:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \quad \Rightarrow \quad \sin A = \frac{a \cdot \sin C}{c} \]

\[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \approx 0,965926 \]

\[ \sin A = \frac{6 \cdot 0,965926}{8,67} \approx \frac{5,7956}{8,67} \approx 0,6684 \]

\[ \angle A = \arcsin(0,6684) \approx \boxed{41,8^\circ} \]

Finalment, l’angle $B$:

\[ \angle B = 180^\circ – 75^\circ – 41,8^\circ = \boxed{63,2^\circ} \]

$\textbf{Resum dels resultats}$

$\textbf{Verificació}$ (suma d’angles): $41,8^\circ + 63,2^\circ + 75^\circ = 180,0^\circ$ $\checkmark$