Aplicació criteri de Dirichlet

Appliqueu el criteri de Dirichlet per estudiar la convergència de la sèrie\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{\sqrt{n}}\]segons el valor del paràmetre real \( x \). (Podeu usar la fórmula \[\cos(x) + \cos(2x) + \cdots + \cos(nx) = \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}.\])

Si considerem \( a_n = \cos(nx) \) i \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \), llavors\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n.\]Si \( x = 2m\pi \), \( m \in \mathbb{Z} \), llavors \( a_n = \cos(2\pi nm) = 1 \) i per tant,\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}} = +\infty,\] ja que es tracta d’una sèrie de Riemann amb exponent menor que 1.Si \( x \) no és un múltiple enter de \( 2\pi \), llavors\[|S_n| \leq \frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)},\]on \( S_n \) és la suma parcial de la sèrie \( \sum_{n=1}^{\infty} \cos(nx) \). Aquesta desigualtat mostra que la suma parcial està limitada i la sèrie convergeix. En definitiva.

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{\sqrt{n}}\]convergeix si \( x \) no és un múltiplo enter de \( 2\pi \) i divergeix si \( x = 2m\pi \), on \( m \in \mathbb{Z} \).