Anàlisi geomètrica del paraboloide hiperbòlic: corbes de nivell i superfície

Donada la funció $g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definida per$g(x, y) = x^2 – 4y^2,$ considerem $S$, la superfície definida per $z = g(x, y)$. 1. Trobeu les corbes de nivell de la superfície $S$ que s’obtenen en fer la intersecció de $S$ amb els plans $z = 4$, $z = -4$ i $z = 0$. 2. Representeu les diferents corbes de nivell. 3. Representeu la superfície $S$. 4. Quina superfície és?

La intersecció $\Gamma$ de la superfície definida per $z = x^2 – 4y^2$ amb plans de la forma $z = c$ és la solució del sistema:$$\Gamma :\begin{cases}z = x^2 – 4y^2 \\z = c\end{cases}$$Substituint $z = c$ a la primera equació, s’obtenen les corbes de nivell:$$x^2 – 4y^2 = c.$$1. La intersecció de la superfície $S$ amb el pla $z = -4$ és una hipèrbola, ja que: $$ x^2 – 4y^2 = -4 \quad \Leftrightarrow \quad y^2 – \frac{x^2}{4} = 1. $$2. La intersecció de $S$ amb el pla $z = 4$ també és una hipèrbola, ja que: $$ x^2 – 4y^2 = 4 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{4} – y^2 = 1. $$3. Les corbes de nivell per $c = 0$ són un parell de rectes que coincideixen amb les asímptotes de les hipèrboles.Finalment, la superfície $S$ és un paraboloide hiperbòlic, coneguda també com una “sella de muntar”.